§ 39. РАСЧЕТ ПОДКОВООБРАЗНОЙ ОБДЕЛКИ С ЗАМЕНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ УПРУГИМИ ОПОРАМИ (ч. 3)

Расчет по методу сил в матричной форме. Программирование для ЭВМ наиболее целесообразно производить в матричной форме, обеспечивающей компактное и наглядное составление алгоритмов расчета.

Канонические уравнения системы (89) в этом случае имеют следующий вид

где А — увеличенная в Е раз матрица единичных перемещений основной системы, учитывающая упругость заделки подошвы стены;

 — вектор неизвестных;

 — увеличенный в Е раз вектор грузовых перемещений основной системы;

Е — модуль упругости материала обделки.

Матрица А отличается от матрицы А₃ единичных перемещений обделки с жестко заделанными пятами тем, что ее нижний правый элемент увеличен на Еγ_п (γ_п — угол поворота подошвы от действия единичного момента). В соответствии с формулой (91)

где , и — матрицы влияния единичных моментов на моменты, нормальные силы и реакции опор в основной системе;

, и — матрицы, транспортированные по отношению к матрицам , и ;

В_M, В_N и В_R — увеличенные в Е раз матрицы податливости соответственно изгибу и осевому обжатию стержней, а также осадке опор основной системы.

Для основной системы, показанной на рис. 93, матрицы влияния, соответствующие данным таблицы рис. 95, равны:

Транспонированные матрицы , и получают заменой столбцов приведенных матриц влияния на строки. Так, например:

.

E — кратную матрицу податливости В_M составляют из матриц податливости отдельных стержней. Так, для стержня m матрица имеет вид

При этом так как изгибающие моменты по концам стержней, примыкающих к вершине многоугольника, одинаковы, матрицы смежных стержней накладывают углами друг на друга и числа в местах наложения (в матрице В_M отмечены крестами) суммируют;

E-кратные матрицы податливости B_N и B_R являются диагональными и для краткости могут быть записаны в виде столбцов:

где а_а — длина стержней, на которые разбита трехшарнирная арка;

а — длина стержней 1—3, на которые разбита нижняя часть обделки 1—4 (см. рис. 92);

D и D_п — характеристики жесткости упругих опор соответственно по боковой поверхности и в подошве стены.

E-кратный вектор грузовых перемещений

где , и  — векторы влияния, координатами которых являются соответственно моменты, нормальные силы и реакции опор в основной системе от внешней нагрузки.

В нашем случае:

Решив уравнение (100) относительно , получим

где А^–1— матрица, обратная матрице А.

Усилия в обделке определяют по формулам:

Правильность определения усилий в обделке проверяют по формуле

Вектор деформационной проверки дает результаты сопряжения эпюр единичных состояний основной системы с эпюрами окончательных усилий (координаты d_m вектора представляют собой E-кратные углы поворота по направлению неизвестных).

Правильным результатам соответствует равенство нулю всех углов поворота, кроме угла поворота в подошве стены. В нашем случае должно соблюдаться равенство

Расчет по приведенной схеме соответствует предварительно заданному протяжению безотпорного участка и равномерному размещению упругих опор на участке взаимодействия обделки и упругой среды (см. рис. 92). При возникновении в верхней опоре растягивающего усилия (R₁ < 0) эта опора должна быть смещена в направлении подошвы стены, что вызывает изменение расположения опор и, следовательно, изменение расчетной схемы. Уточнение границ безотпорного участка требует в связи с этим изменения исходных данных, вводимых в машину, и полного повторения расчета.

Поэтому более целесообразной является расчетная схема, показанная на рис. 98, в которой имеются упругие опоры во всех вершинах многоугольника, кроме замкового сечения, в котором опора была бы заведомо растянутой. Контур обделки разбивают на одинаковые отрезки а достаточно малой длины для того, чтобы обеспечить приближение вписанного многоугольника к действительному очертанию обделки.

При замене обделки многоугольником на 2n упругих опорах число неизвестных (моментов в местах упругих опор и в замковом сечении при симметрии системы и нагрузки) равно n + 1. Поэтому память ЭВМ должна быть достаточной для размещения матрицы этого порядка.

Расчет выполняют в матричной форме по приведенному выше алгоритму, причем матрицы , , и векторы , (вектор = 0) усилий в основной системе вычисляются машиной. В качестве исходных данных в машину вводят координаты вершин многоугольника (x_m, y_m), средние толщины стержней (h_m), нагрузки (q, p) и упругие характеристики (Е, k, и k_п).

Если в результате расчета усилия в упругих опорах, расположенных в верхней части свода, оказываются отрицательными, то их характеристики жесткости, входящие в выражение для вектора податливости B_R, умножаются машиной на малое число (например, на 10^–4) и расчет повторяется для первоначальной системы, т.е. при прежнем количестве опор. Во втором приближении усилия в растянутых опорах резко уменьшаются и уже не оказывают существенного влияния на напряженное состояние обделки. При этом отрицательные усилия могут появиться в опорах, расположенных ниже, жесткость которых также уменьшается.

Расчет повторяется машиной до тех пор, пока все остающиеся упругие опоры с первоначальными характеристиками жесткости не будут сжатыми. Таким образом фиксируются границы безотпорного участка, соответствующие действительному напряженному состоянию обделки.

Для расчета обделок на несимметричные нагрузки более удобна расчетная схема, предложенная Б.С. Христовым, в которой упругие опоры помещаются во всех вершинах вписанного в контур многоугольника (дополнительное неизвестное усилие — вертикальная реакция в нижней левой опоре). Эта схема применима для расчета тоннельных обделок любого очертания.

Расчет тоннельных обделок по методу сил требует определения минимального числа неизвестных и получил на практике широкое распространение. Универсальные программы (например, для ЭВМ «Минск-22», составленная Б.С. Христовым) позволяют быстро получить усилия в обделке от любых сочетаний нагрузок с автоматической аппроксимацией границ безотпорного участка.

Основные положения расчета по методу перемещений. При расчете по методу перемещений число неизвестных увеличивается в три раза, так как в каждой вершине многоугольника необходимо определить три смещения по направлению введенных закреплений: угловое, горизонтальное и вертикальное. Однако применение ЭВМ позволяет этому методу успешно конкурировать с методом сил. Простота и стандартность определения реакций в закреплениях и, следовательно, коэффициентов канонических уравнений значительно облегчают программирование, а совместное решение большого числа уравнений на электронной машине может быть получено с достаточной быстротой и точностью.

Применение метода перемещений для расчета конструкций в упругой среде предложено доц. Н.Н. Шапошниковым, разработавшим стандартные программы для ЭВМ «БЭСМ-4» и «Сетунь», позволяющие рассчитать сложнейшие подземные сооружения (например, обделки станций метрополитена глубокого заложения).

Расчетная схема подковообразной обделки на упругих опорах (рис. 99, а) представляет собой вписанный многоугольник, по концам сторон которого расположены пружины. Программа предусматривает автоматическое выключение пружин, попадающих в безотпорный участок.

Основная система (рис. 99, б) получена из расчетной схемы введением в каждом узле трех связей, препятствующих угловому Δφ, горизонтальному Δх и вертикальному Δу смещениям.

Неизвестными z_i являются перемещения узловых точек, обращающие в нуль усилия во введенных связях.

Для каждой вершины многоугольника можно составить три канонических уравнения, содержащих для конечных точек (точки 1 и 4) шесть неизвестных, а для промежуточных точек — девять неизвестных.

Так, для точки 1:

где

z₁ = Δφ₁; z₂ = Δx₁; z₃ = Δy₁;

z₄ = Δφ₂; z₅ = Δx₂; z₆ = Δy₂;

r_ik — реакция в связи i прямого стержня постоянной жесткости от единичного смещения по направлению связи k.

В матричной форме уравнения (112) имеют вид

где

Полная система канонических уравнений имеет вид

В случае необходимости в матрицы реакций вводят поправки, учитывающие податливость пят свода (в данном случае — поворот и вертикальное смещение в точке 4). Система уравнений (115) может быть записана короче:

где

Здесь В — квазиматрица, и R_p — квазивекторы, так как их элементы являются матрицами (R_ik) и векторами ( и ).

Координатами квазивектора перемещений  служат векторы перемещений концов стержней, входящих в расчетную схему. Зная их значения, можно определить внутренние усилия в стержнях, загруженных только по концам, по формулам строительной механики.