§ 39. РАСЧЕТ ПОДКОВООБРАЗНОЙ ОБДЕЛКИ С ЗАМЕНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ УПРУГИМИ ОПОРАМИ (ч. 1)

Тоннельная обделка, работающая совместно с окружающей упругой средой, представляет собой сложную многократно статически неопределимую систему. Точный ее расчет для общего случая обделки произвольного очертания и переменной жесткости практически невыполним, тем более что упругая среда взаимодействует с обделкой лишь на тех участках контура выработки, где конструкция смещается в сторону породы. Поэтому для определения усилий в сечениях обделки обычно пользуются приближенными методами, возможности применения которых сильно возросли с внедрением в практику проектирования ЭВМ.

Наибольшее распространение имеет метод, предложенный в 1936 г. инженерами Метропроекта, основанный на преобразовании заданной системы в расчетную введением следующих допущений (рис. 92):

• – плавное очертание обделки заменяют ломаным (вписанный многоугольник);
• – непрерывное изменение жесткости обделки заменяют ступенчатым, причем на протяжении каждой из сторон многоугольника жесткость обделки принимают постоянной;
• – распределенные активные нагрузки, действующие на обделку, заменяют усилиями, сосредоточенными в вершинах многоугольника;
• – сплошную упругую среду заменяют отдельными упругими опорами, помещенными в вершинах вписанного многоугольника и расположенными перпендикулярно наружной поверхности обделки. (При учете сил трения между обделкой и породой опоры отклоняются вниз на угол трения.) Это равносильно допущению, что интенсивность упругого отпора на участке, соответствующем длине упругой опоры (расстоянию между серединами сторон вписанного многоугольника, примыкающих к опоре), является постоянной, т.е. эпюра упругого отпора имеет ступенчатую форму.

Протяжением зоны возникновения упругого отпора, границы которой характеризуются центральным углом 2φ₀, задаются в начале расчета в соответствии с опытом проектирования обделок в аналогичных условиях. Оно увеличивается при наличии факторов, способствующих деформациям обделки в сторону породы (вертикальные нагрузки, малая жесткость свода, податливые породы за обделкой), и уменьшается при наличии факторов, выводящих свод из соприкосновения с упругой средой (боковое горное и гидростатическое давление, значительные осадки стен). С учетом вышесказанного значение угла безотпорного участка 2φ₀ принимают в пределах от 90 до 150°.

Распределение n упругих опор по контуру половины обделки и разбивку вершин многоугольника выполняют следующим образом.

Ось обделки от подошвы стены до границы безотпорного участка (точка К*) делят на (n + 1/2) одинаковых частей. Опоры располагают на границах между частями перпендикулярно наружной поверхности обделки. Арку между верхней опорой и замковым сечением делят на четыре—шесть частей в зависимости от пролета обделки и требуемой точности расчета. В общем случае длины сторон вписанного многоугольника на протяжении арки и стен неодинаковы (соответственно а_а и а). Стороны обозначаются в соответствии с их верхними точками. Так, сторона 2-1 — стержень 1.

При преобладании вертикальных нагрузок силы трения, возникающие в подошве обделки, обычно превышают усилия, стремящиеся сместить низ стены в горизонтальном направлении. Невозможность этого смещения учитывается введением горизонтальной жесткой опоры в уровне подошвы стены.

Увеличение числа упругих опор уменьшает отклонение расчетной схемы от действительной и повышает точность расчета.

Расчет по методу сил в обычной форме. Для статического расчета системы, обладающей большой степенью подвижности узлов (опоры не жесткие, а упругие), наиболее целесообразно применять метод сил, дающий наименьшее количество лишних неизвестных. В качестве основной системы принимают шарнирную цепь, получающуюся в результате введения шарниров в местах упругих опор и в замковом сечении обделки (рис. 93).

При обычно принимаемой в расчете симметрии обделки и действующих на нее нагрузок относительно вертикальной оси в качестве лишних неизвестных рассматривают парные изгибающие моменты в симметричных шарнирах.

Неизвестные определяют решением канонических уравнений, каждое из которых отрицает возможность перемещения по направлению удаленной связи (равенство нулю взаимного поворота стержней многоугольника, сходящихся в шарнире).

Канонические уравнения имеют вид:

(89)

где δ_iк и Δ_ip — перемещения основной системы по направлению неизвестных M_i от действия соответственно парных единичных моментов, приложенных в точках к, и от нагрузок;

 — угол поворота подошвы стены под действием единичного момента [см. формулу (70)];

 — момент инерции подошвы стены;

h_п — высота сечения подошвы стены;

k_п — коэффициент упругого отпора в основании стены.

Перемещения основной системы определяют по общей формуле строительной механики, преобразованной в соответствии со стержневым характером системы

(90)

где M_i и N_i — изгибающие моменты и нормальные силы в основной системе от действия парных единичных моментов, приложенных в точках i;

M_k и N_k — то же от действия парных единичных моментов, приложенных в точках k;

I_m, F_m, a_m — соответственно момент инерции, площадь сечения и длина m-го стержня основной системы.

Первый член формулы (90) учитывает влияние на величину перемещений изгиба стержней, второй член — влияние обжатия стержней нормальными силами. Обжатию подвергаются как стержни, входящие в состав многоугольника, так и упругие опоры. Поэтому второй член формулы необходимо преобразовать для возможности учета осадок упругих опор. Входящее в формулу (90) выражение  равно продольной деформации стержня сечением F_m и длиной a_m от действия единичной силы.

Осадка упругой опоры от единичной силы может быть получена следующим образом. Опора воспринимает отпор породы с площади, равной произведению ширины b кольца обделки на длину постели опоры, которая равна полусумме расстояний до соседних опор, измеренных по наружной поверхности обделки. Достаточно точные результаты можно получить, приняв длину постели опоры равной длине a_m стержня многоугольника.

Единичная сила вызывает напряжение породы под опорой и осадку опоры

,

k_m — коэффициент упругого отпора (может быть переменным по контуру обделки);

D_m = k_ma_mb — характеристика жесткости опоры, которая в общем случае может быть различной для разных опор в связи с изменением коэффициента упругого отпора (длины стержней многоугольника на участке размещения упругих опор целесообразно принимать постоянными).

Подставляя полученное выражение для осадки опоры от единичной силы в выражение (90), получим развернутую формулу для определения перемещений основной системы с учетом изгиба и обжатия стержней и осадки упругих опор:

,

(91)

где R_i и R_k — усилия в опоре основной системы от действия парных единичных моментов, приложенных соответственно в точках i и k.

Для определения грузовых перемещений Δ_ip усилия M_k, N_k, R_k заменяют усилиями М_р, N_p, R_p в основной системе от действия нагрузок.

Наибольшее влияние на величину перемещений основной системы оказывают изгиб стержней и осадка опор. Роль обжатия стержней нормальными силами возрастает с увеличением коэффициента k упругого отпора и с уменьшением площади F поперечного сечения обделки.

Практически при расчете подъемистых подковообразных обделок с криволинейными стенами, имеющих наибольшее распространение в мягких и неустойчивых породах, можно не учитывать влияния обжатия и определять перемещения по двучленной формуле.

Пренебрежение влиянием обжатия вызывает некоторое уменьшение изгибающего момента в наиболее напряженном замковом сечении обделки. Однако если наряду с этим не учитывать трение между обделкой и породой, которое производит противоположное действие, запас прочности конструкции не уменьшается.