§ 39. РАСЧЕТ ПОДКОВООБРАЗНОЙ ОБДЕЛКИ С ЗАМЕНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ УПРУГИМИ ОПОРАМИ (ч. 2)

Усилия в основной системе от нагрузки и единичных моментов определяют путем последовательного вырезания узлов шарнирно-стержневой цепи, на которую опирается трехшарнирная арка, с рассмотрением условий их равновесия. Моменты в узлах представляются в виде пар с плечами, равными длинам сторон между упругими опорами. Принятые обозначения указаны на рис. 94. Первый индекс у символа, обозначающего усилие, указывает номер стержня, в котором оно возникает, второй индекс — причину, вызвавшую усилие. Такой причиной может быть внешняя нагрузка (рис. 94, а) или парные единичные моменты в симметричных точках основной системы (рис. 94, б).

За положительные обычно принимают моменты, вызывающие растяжение внутренних волокон обделки, и сжимающие усилия. Поперечную силу | Q | = 1/a, вызванную действием единичного момента в узле, считают положительной, если она вращает примыкающий к узлу стержень против часовой стрелки; узловые нагрузки принимают положительными, если их направление соответствует показанному на рис. 94, а.

Для определения усилий в основной системе могут быть использованы следующие формулы:

(92)

Усилия в элементах основной системы изображают в соответствии с принятыми обозначениями и знаками на развертке полуоси обделки. Для расчетной схемы, показанной на рис. 92, такая таблица приведена на рис. 95.

Прежде чем перейти к определению перемещений, необходимо убедиться в правильности вычисления усилий в основной системе. Очевидно, что если приложить единичные моменты сразу по направлению всех неизвестных, то основная система окажется в состоянии чистого изгиба и поперечные силы в ее сечениях обратятся в нуль. Следовательно, будут равны нулю также нормальные силы и реакции упругих опор. Это обстоятельство используют для проверки правильности вычисления усилий в основной системе от единичных моментов.

При суммировании усилий всех единичных состояний основной системы должны соблюдаться следующие равенства:

(93)

Правильность определения усилий в основной системе от действия нагрузок контролируется путем вырезания частей системы с проектированием на оси координат соответствующих усилий.

В качестве примера пользования формулой (91) ниже определено перемещение δ₁₂ = δ₂₁:

где D = D₁ = D₂ = D₃ = kab, так как длину а всех стержней обделки ниже опорной точки трехшарнирной арки обычно принимают одинаковой;

D₄ = k_пh_пb.

Для проверки правильности вычисления перемещений основной системы определяют контрольные перемещения δ_ss и Δ_sp, получающиеся сопряжением по формуле (91) суммарного состояния S с самим собой и с грузовым состоянием Р. Так как состояние S суммирует все единичные состояния, должны соблюдаться следующие равенства:

(94)

где ω_mp — площадь эпюры моментов от нагрузки на стержне m основной системы.

Изгибающие моменты в замковом сечении обделки и в местах упругих опор получаются непосредственно из решения канонических уравнений. Моменты в сечениях трехшарнирной арки, реакции опор и нормальные силы в стержнях обделки могут быть найдены суммированием следующих усилий, вызываемых в основной системе нагрузками и моментами в шарнирах (см. рис. 95):

(95)

Получение растягивающего усилия R₁ < 0 в верхней опоре означает, что расчетная схема выбрана неправильно. В этом случае расчет должен быть повторен с уменьшенным числом упругих опор. Интенсивность отпора породы постоянна на протяжении длины упругой опоры (рис. 96, а):

.

(96)

Полученная эпюра отпора имеет ступенчатый характер (см. рис. 96, а), а действительная эпюра — плавный (рис. 96, б). Для уточнения расчета может быть использовано найденное графически значение угла φ'₀ ≠ φ₀ безотпорного участка.

Окончательные нормальные силы в вершинах многоугольника равны полусуммам нормальных сил в примыкающих к вершинам стержнях.

Результаты расчета контролируют проверкой равновесия отдельных частей обделки и определением перемещений, величины которых равны нулю или связаны с усилиями в стержнях простыми соотношениями.

Наиболее часто проверяют взаимный угол поворота стержней, сходящихся в одной из вершин многоугольника.

Для подковообразной обделки с упругой заделкой пят этот угол в замковом сечении равен

.

(97)

Удобна проверка величины смещения по направлению одной из упругих опор, расположенных горизонтально (перпендикулярно вертикальному участку наружной поверхности стены).

Сопрягая верхние части эпюры моментов и нормальных сил (рис. 97) с соответствующими единичными эпюрами, получим величину Δ_h осадки горизонтальной опоры:

.

(98)

Эта осадка может быть получена и по формуле

,

(99)

где R_h — реакция опоры h, имеющей характеристику D_h.

Изложенный метод является универсальным и применим для расчета подземных конструкций любого очертания с изменяющимися на контуре обделки упругими характеристиками. Применение этого метода связано со значительным объемом вычислительной работы, которая не может быть облегчена использованием графиков или таблиц вследствие индивидуального характера тоннельных конструкций.

Следует, однако, отметить, что простота построения метода делает его весьма удобным для использования электронных вычислительных машин, позволяющих применять расчетные схемы с большим числом упругих опор, чем обеспечивается высокая точность расчета при сравнительно небольшой затрате машинного времени.