§ 37. РАСЧЕТ СВОДА С УПРУГОЙ ЗАДЕЛКОЙ ПЯТ

В состав некоторых расчетных схем монолитных тоннельных обделок входит свод с упруго заделанными пятами, смещения точек оси которого происходят внутрь выработки и не вызывают упругого отпора со стороны породы. При вертикальной симметрии конструкции и нагрузок, которую обычно принимают в расчете, вертикальные смещения пят не отражаются на напряженном состоянии свода.

Рассмотрим свод переменной жесткости с пятами, смещающимися по горизонтали на величину u и поворачивающимися на угол γ (рис. 84, а). За положительные приняты направления смещений, указанные на чертеже, изгибающие моменты, вызывающие растяжение внутренних волокон свода, и сжимающие усилия.

Вследствие симметрии системы поперечная сила в замковом сечении равна нулю. Изгибающий момент Х₁ и нормальная сила Х₂ в замковом сечении определяются из канонических уравнений метода сил:

(59)

где δ_ik и Δ_ip — перемещения полусвода соответственно от единичных воздействий по направлению неизвестных и от нагрузки; f — высота свода.

Введем следующие обозначения:

γ₁ и u₁ — угол поворота и горизонтальное смещение пяты полусвода от действия приложенного в ней единичного момента (рис. 85, а) ;

γ₂ и u₂ — то же от действия единичной горизонтальной силы (рис. 85, б) ;

γ_p и u_p — то же от действия нагрузки с полусвода.

В соответствии с принципом независимости действия сил полные смещения пят свода:

(60)

Подставляя значения γ и u из (60) в канонические уравнения (59) и учитывая, что в силу взаимности перемещений γ₂ = u₁, получим:

(61)

Перемещения, зависящие от деформаций полусвода, определяют по общей формуле

.

(62)

При отношении высоты свода к пролету, превышающем 0,25, влияние обжатия оси нормальными силами невелико и перемещения могут быть найдены по одночленной формуле

.

(63)

В общем случае свода переменной жесткости закон изменения момента инерции I и площади F сечений по длине полусвода выражается сложной зависимостью. Вследствие этого обычно ось плавного очертания заменяют вписанным многоугольником со сторонами (клиньями) одинаковой длины Δ_s (рис. 86) и при вычислении перемещений применяют численное интегрирование.

Достаточно точные результаты могут быть получены по формуле Симпсона, пригодной при разбивке полусвода на четное число клиньев:

,

(64)

где Δs — длина клина;

A_m — подынтегральная функция в шве m между клиньями, в котором сечение имеет характеристики I_m и F_m (например, ).

Рассмотрим усилия в сечениях полусвода во вспомогательных состояниях основной системы (рис. 84, б, в, г) :

• – первое состояние: М_m1 = 1; N_m1 = 0;
• – второе состояние: М_т2 = у; N_m2 = cos φ_m.

Грузовое состояние. Для нагрузок, показанных на рис. 87, а, внутренние усилия в швах между клиньями определяют по формулам:

(65)

В случае необходимости учета гидростатического давления (рис. 87, б) целесообразно разложить радиально направленное усилие W_m = h_ml_m (здесь h_m — расстояние от пьезометрического уровня подземных вод до центра наружной поверхности клина; l_m — протяжение этой поверхности) на вертикальную  и горизонтальную составляющие.

Перемещения по направлению лишних неизвестных, зависящие от жесткости свода, определяют подстановкой в формулы (62) значений усилий в основной системе в соответствующих вспомогательных состояниях, т.е.

,

(66)

Контроль перемещений осуществляют по формулам:

(67)

Входящие в канонические уравнения составляющие углового и горизонтального смещений пятовых сечений свода определяют в соответствии с принятой схемой обделки (см. § 38).

После определения лишних неизвестных Х₁ и Х₂ усилия в сечениях m свода находятся суммированием усилий вспомогательных состояний основной системы:

(68)

Правильность расчета проверяют определением перемещений по направлению лишних неизвестных. Эти перемещения должны быть равны нулю.

Сопрягая расчетные эпюры М и N с эпюрами от единичных воздействий, получим:

(69)

где γ и u — окончательные значения смещений пятовых сечений свода, определенные по формулам (60).