5.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ОСНОВАНИЯХ
5.2.1. Однородное основание (ч. 2)
При нагрузке, равномерно распределенной по прямоугольной площадке (рис. 5.7), вертикальные нормальные напряжения по вертикали, проходящей через центр этой площадки,
а через угловую точку площадки
где η = l1/b1 = l/b, ζ = z/b1 = 2z/b и ζ1 = z/(2b1) = z/b
Из сопоставления формул (5.9) и (5.10) следует, что
т.е. вертикальное нормальное напряжение на глубине z под углом равномерно загруженной прямоугольной площадки в 4 раза меньше соответствующего напряжения на глубине z/2 под центром этой площадки.
Для удобства пользования формулы (5.9) и (5.10) могут быть представлены в виде [4]:
где α — коэффициент (табл. 5.4), зависящий от η и ζ для σ0z и от η и ζ1 для σcz.
ТАБЛИЦА 5.4. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА α
ζ = 2z/b | α для фундаментов | |||||||
круглых | прямоугольных с соотношением сторон η = l/b | ленточных (η ≥ 10) | ||||||
1,0 | 1,4 | 1,8 | 2,5 | 3,2 | 5 | |||
0 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 |
0,4 | 0,949 | 0,960 | 0,972 | 0,775 | 0,976 | 0,977 | 0,977 | 0,977 |
0,8 | 0,756 | 0,800 | 0,848 | 0,866 | 0,876 | 0,879 | 0,881 | 0,881 |
1,2 | 0,547 | 0,606 | 0,682 | 0,717 | 0,739 | 0,749 | 0,754 | 0,755 |
1,6 | 0,390 | 0,449 | 0,532 | 0,578 | 0,612 | 0,629 | 0,639 | 0,642 |
2,0 | 0,285 | 0,386 | 0,414 | 0,463 | 0,505 | 0,530 | 0,545 | 0,550 |
2,4 | 0,214 | 0,257 | 0,325 | 0,374 | 0,419 | 0,449 | 0,470 | 0,477 |
2,8 | 0,165 | 0,201 | 0,260 | 0,304 | 0,349 | 0,383 | 0,410 | 0,420 |
3,2 | 0,130 | 0,160 | 0,210 | 0,251 | 0,294 | 0,329 | 0,360 | 0,374 |
3,6 | 0,106 | 0,131 | 0,173 | 0,209 | 0,250 | 0,285 | 0,319 | 0,337 |
4,0 | 0,087 | 0,108 | 0,145 | 0,176 | 0,214 | 0,248 | 0,285 | 0,306 |
4,4 | 0,073 | 0,091 | 0,123 | 0,150 | 0,185 | 0,218 | 0,255 | 0,280 |
4,8 | 0,062 | 0,077 | 0,105 | 0,130 | 0,161 | 0,192 | 0,230 | 0,258 |
5,2 | 0,053 | 0,067 | 0,091 | 0,113 | 0,141 | 0,170 | 0,208 | 0,239 |
5,6 | 0,046 | 0,058 | 0,079 | 0,099 | 0,124 | 0,152 | 0,189 | 0,223 |
6,0 | 0,040 | 0,051 | 0,070 | 0,087 | 0,110 | 0,136 | 0,173 | 0,208 |
6,4 | 0,036 | 0,045 | 0,062 | 0,077 | 0,099 | 0,122 | 0,158 | 0,196 |
6,8 | 0,031 | 0,040 | 0,055 | 0,069 | 0,088 | 0,110 | 0,145 | 0,185 |
7,2 | 0,028 | 0,036 | 0,049 | 0,062 | 0,080 | 0,100 | 0,133 | 0,175 |
7,6 | 0,024 | 0,032 | 0,044 | 0,056 | 0,072 | 0,091 | 0,123 | 0,166 |
8,0 | 0,022 | 0,029 | 0,040 | 0,051 | 0,066 | 0,084 | 0,113 | 0,158 |
8,4 | 0,021 | 0,026 | 0,037 | 0,046 | 0,060 | 0,077 | 0,105 | 0,150 |
8,8 | 0,019 | 0,024 | 0,033 | 0,042 | 0,055 | 0,071 | 0,098 | 0,143 |
9,2 | 0,017 | 0,022 | 0,031 | 0,039 | 0,051 | 0,065 | 0,091 | 0,137 |
9,6 | 0,066 | 0,020 | 0,028 | 0,036 | 0,047 | 0,060 | 0,085 | 0,132 |
10,0 | 0,015 | 0,019 | 0,026 | 0,033 | 0,043 | 0,056 | 0,079 | 0,126 |
10,4 | 0,014 | 0,017 | 0,024 | 0,031 | 0,040 | 0,052 | 0,074 | 0,122 |
10,8 | 0,013 | 0,016 | 0,022 | 0,029 | 0,037 | 0,049 | 0,069 | 0,117 |
11,2 | 0,012 | 0,015 | 0,021 | 0,027 | 0,035 | 0,045 | 0,065 | 0,113 |
11,6 | 0,011 | 0,014 | 0,020 | 0,025 | 0,033 | 0,042 | 0,061 | 0,109 |
12,0 | 0,010 | 0,013 | 0,018 | 0,023 | 0,031 | 0,040 | 0,058 | 0,106 |
Примечания: 1. Условные обозначения: b — ширина или диаметр фундамента: l — длина фундамента.
2. Для фундаментов, имеющих подошву в форме правильного многоугольника площадью A, значения α принимаются как для круглых фундаментов радиусом .
3. Для промежуточных значений ζ и η коэффициент α определяется интерполяцией.
При нагрузке, распределенной по прямоугольной площадке по закону треугольника (рис. 5.8), вертикальные нормальные напряжения по вертикали, проходящей через угловые точки с координатами x = –l1 и у = –b1
а с координатами x = l1 и y = b1
Значения σz/p, вычисленные по формуле (5.15), приведены в табл. 5.5.
При нагрузке, равномерно распределенной по кругу, нормальные напряжения δ0z по вертикали, проходящей через центр круга, определяются по формуле (5.12), в которой
где β — угол между вертикалью и прямой, соединяющей рассматривавшую точку с любой точкой на окружности радиуса r; значения α приведены в табл. 5.4.
ТАБЛИЦА 5.5. ЗНАЧЕНИЯ σz/p ПО ВЕРТИКАЛЯМ, ПРОХОДЯЩИМ ЧЕРЕЗ УГЛОВУЮ ТОЧКУ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛОЩАДКИ ПРИ ТРЕУГОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ
z/(2l1) | σz/p при b1/l1 | ||||||||||||
0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2 | 3 | 4 | 10 | |
0 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
0,2 | 0,022 | 0,028 | 0,030 | 0,030 | 0,030 | 0,030 | 0,031 | 0,031 | 0,031 | 0,031 | 0,031 | 0,031 | 0,031 |
0,4 | 0,027 | 0,042 | 0,049 | 0,052 | 0,053 | 0,054 | 0,054 | 0,054 | 0,055 | 0,055 | 0,055 | 0,055 | 0,055 |
0,6 | 0,026 | 0,045 | 0,056 | 0,062 | 0,065 | 0,067 | 0,068 | 0,069 | 0,069 | 0,070 | 0,070 | 0,070 | 0,070 |
0,8 | 0,023 | 0,042 | 0,055 | 0,064 | 0,069 | 0,072 | 0,074 | 0,075 | 0,076 | 0,076 | 0,077 | 0,077 | 0,078 |
1,0 | 0,020 | 0,038 | 0,051 | 0,060 | 0,067 | 0,071 | 0,073 | 0,075 | 0,077 | 0,077 | 0,079 | 0,079 | 0,080 |
1,2 | 0,017 | 0,032 | 0,045 | 0,055 | 0,062 | 0,066 | 0,070 | 0,072 | 0,074 | 0,075 | 0,077 | 0,078 | 0,078 |
1,4 | 0,015 | 0,028 | 0,039 | 0,048 | 0,055 | 0,061 | 0,064 | 0,067 | 0,069 | 0,071 | 0,074 | 0,075 | 0,075 |
1,6 | 0,012 | 0,024 | 0,034 | 0,042 | 0,049 | 0,054 | 0,059 | 0,062 | 0,064 | 0,066 | 0,070 | 0,071 | 0,071 |
1,8 | 0,011 | 0,020 | 0,030 | 0,037 | 0,044 | 0,049 | 0,053 | 0,056 | 0,058 | 0,060 | 0,065 | 0,067 | 0,067 |
2,0 | 0,009 | 0,018 | 0,026 | 0,032 | 0,038 | 0,043 | 0,047 | 0,051 | 0,053 | 0,055 | 0,061 | 0,062 | 0,064 |
2,5 | 0,006 | 0,012 | 0,018 | 0,024 | 0,028 | 0,033 | 0,036 | 0,039 | 0,042 | 0,044 | 0,050 | 0,053 | 0,055 |
3 | 0,005 | 0,009 | 0,014 | 0,018 | 0,021 | 0,025 | 0,028 | 0,031 | 0,033 | 0,035 | 0,042 | 0,045 | 0,048 |
5 | 0,002 | 0,004 | 0,005 | 0,007 | 0,009 | 0,010 | 0,012 | 0,013 | 0,015 | 0,016 | 0,021 | 0,025 | 0,030 |
7 | 0,001 | 0,002 | 0,003 | 0,004 | 0,005 | 0,006 | 0,006 | 0,007 | 0,008 | 0,009 | 0,012 | 0,015 | 0,021 |
10 | 0,000 | 0,001 | 0,001 | 0,002 | 0,002 | 0,003 | 0,003 | 0,004 | 0,004 | 0,005 | 0,007 | 0,008 | 0,014 |
При произвольной нагрузке, распределенной по площади произвольной формы, а также при неравномерном распределении нагрузки для определения напряжений допускается пользоваться следующим приближенным приемом, основанным на принципе суперпозиции.
Площадь загружения разбивается на ряд достаточно малых площадок, причем нагрузка, действующая на каждую из них, принимается за сосредоточенную силу Pi, приближенную в центре тяжести площадки. Напряжение в любой точке основания вычисляется по формуле
где n — число выделенных площадок; Кi — коэффициент рассеивания напряжений, принимаемый по табл. 5.1.
Формула (5.17) дает достаточно удовлетворительные результаты начиная с глубины z ≥ 2bi, где bi — меньшая сторона элементарной площадки. Принцип суперпозиции позволяет определять и более точно напряжения в основании в самых разнообразных случаях загружения, в том числе при необходимости учета взаимного влияния площадей (фундаментов).
Так, например, напряжения в основании при трапециевидной полосовой нагрузке (рис. 5.9) могут быть определены суммированием напряжений, вычисленных по формулам (5.6) и (5.8). Аналогичным образом определяются напряжения в условиях пространственной задачи. Напряжения в основании, нагрузка на которое равномерно распределена по кольцу, можно определить как разность напряжений от нагрузок по двум круговым площадкам радиусами, равными наружному и внутреннему радиусам кольца. Напряжения в основании под центром фундамента при наличии полосовой нагрузки на полах производственных зданий определяются суммированием напряжений, вычисляемых по формуле (5.9) и первой из формул (5.6).
Наиболее распространенный случай в практике проектирования — учет взаимного влияния нескольких прямоугольных фундаментов. При этом широко используется метод угловых точек. Метод заключается в том, что вертикальные нормальные напряжения σz,A на глубине z по вертикали, проходящей через произвольную точку А (в пределах или за пределами рассматриваемого фундамента с давлением по подошве, равным р), определяются алгебраическим суммированием напряжений σcz,j в угловых точках четырех фиктивных фундаментов (рис. 5.10):
где σcz,j — вертикальное нормальное напряжение, определяемое по формуле (5.10).
Вертикальные нормальные напряжения σz по вертикали, проходящей через центр рассчитываемого фундамента, с учетом влияния соседних фундаментов или нагрузок на прилегающие площади определяются по формуле
где σ’z — напряжение от нагрузки на рассматриваемый фундамент; k — число влияющих фундаментов; σz,A,i — дополнительное вертикальное нормальное напряжение на глубине z от i-го влияющего фундамента, определяемое по формуле (5.18).
Пример 5.2. Требуется построить эпюры вертикальных нормальных напряжений σz по вертикалям, проходящим через центры двух смежных фундаментов Ф-1 и Ф-2 с учетом их взаимного влиянии (рис. 5.11). Среднее давление под фундаментами (за вычетом давления от собственного веса грунта) составляет р0 = 300 кПа.
Решение. Значения σz по оси фундамента Ф-1 получаем суммированием напряжений σz1 от давления p0 под самим фундаментом и дополнительного напряжения σz2 от влияния фундамента Ф-2. Последнее определяем методом угловых точек как сумму напряжений на рассматриваемой глубине в угловой точке М четырех загруженных площадей (фиктивных фундаментов): MLAI и MNDL с положительным давлением р0 и MKBI и MNCK — с отрицательным.
Соотношения сторон указанных прямоугольников равны: для EFGH (Ф-1) η = 1; для MLAI и MNDL η = 10/2 = 5; для МКВI и MNCK η = 6/2 = 3.
Разбиваем основание на слои толщиной Δh = 0,8 м. При этом Δζ = 2Δh/b = 2×0,8/4 = 0,4; Δζ1 = Δh/b = 0,8/2 = 0,4 [см. формулы (5.9)—(5.13)].
Вычисления сводим в табл. 5.5, в которой коэффициенты затухания напряжений по вертикали, проходящей через точку М, относятся к прямоугольникам: α1 — EFGH (Ф-1); α2 — MLAI и MNDL; α3 — MKBI и MNCK; α4 — АВСД (Ф-2), определен с учетом формул (5.13) и (5.18): α4 = 2× (α2 – α3); α = α1 + α4 учитывает влияние нагрузок на фундаменты Ф-1 и Ф-2 (значения коэффициентов α приняты по табл. 5.4).
ТАБЛИЦА 5.6. К ПРИМЕРУ 5.2
z, м | ζ | α1 | α2 | α3 | α4 | α | Напряжения, кПа | ||
σz1 = p0α1 | σz2 = p0α4 | σz = p0α | |||||||
0 | 0 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 0 | 1,000 | 300 | 0 | 200 |
0,8 | 0,4 | 0,960 | 0,977 | 0,977 | 0 | 0,960 | 288 | 0 | 288 |
1,6 | 0,8 | 0,800 | 0,881 | 0,878 | 0,002 | 0,802 | 240 | 0 | 240 |
2,4 | 1,2 | 0,606 | 0,754 | 0,748 | 0,003 | 0,609 | 182 | 1 | 183 |
3,2 | 1,6 | 0,449 | 0,639 | 0,627 | 0,006 | 0,455 | 135 | 2 | 137 |
4,0 | 2,0 | 0,336 | 0,545 | 0,525 | 0,010 | 0,346 | 101 | 3 | 104 |
4,8 | 2,4 | 0,257 | 0,470 | 0,443 | 0,014 | 0,271 | 77 | 4 | 81 |
5,6 | 2,8 | 0,201 | 0,410 | 0,376 | 0,017 | 0,218 | 60 | 5 | 65 |
6,4 | 3,2 | 0,160 | 0,360 | 0,332 | 0,019 | 0,179 | 48 | 6 | 54 |
7,2 | 3,6 | 0,130 | 0,320 | 0,278 | 0,021 | 0,151 | 39 | 6 | 45 |
8,0 | 4,0 | 0,108 | 0,285 | 0,241 | 0,022 | 0,130 | 32 | 7 | 39 |
8,8 | 4,4 | 0,091 | 0,256 | 0,211 | 0,023 | 0,114 | 27 | 7 | 34 |