12.2.3. Влияние упругой податливости основания на периоды свободных колебаний зданий и сооружений

Влияние податливости основания на динамические характеристики здания (периоды и формы свободных колебаний) зависит от соотношения жесткостей наземной и подземной частей здания (изгибной и сдвиговой жесткости конструкций наземной части здания и жесткости основания при сдвиге и повороте фундамента).

Упругая податливость основания при определении периодов свободных колебаний зданий учитывается коэффициентом упругой податливости основания ξi, зависящим от отношения этих жесткостей к периоду свободных колебаний здания, определяемому в предположении абсолютно жесткой заделки здания в основании.

Изложенные ниже рекомендации по определению периодов свободных колебаний распространяются на все типы зданий и сооружений, расчетная схема которых может быть представлена в виде консольного стержня с равномерно распределенной по высоте массой либо с различным числом сосредоточенных масс, включающих массу фундамента (рис. 12.10).

Расчетная схема здания при определении периодов свободных колебаний
Рис. 12.10. Расчетная схема здания
а — с равномерно распределенной массой М/H; б — с n сосредоточенными равными массами m0, ..., mn

Период свободных колебаний здания при учете податливости основания Ti определяется по формуле

Ti = Tii,
(12.50)

где Тi — период свободных колебаний i-го тона для зданий и сооружений с абсолютно жесткой заделкой в основании; ξi — коэффициент упругой податливости основания.

Коэффициент ξi определяется по приведенным на рис. 12.11—12.13 кривым в зависимости от параметров u, v и λ, вычисляемым по следующим формулам:

(12.51)

где kx и kφ — коэффициенты жесткости основания при упругом равномерном сдвиге и упругом неравномерном сжатии (повороте подошвы фундамента относительно продольной оси здания); E и G — модуль упругости и модуль сдвига материала стен; A и I — площадь и момент инерции поперечного сечения стен здании относительно продольной оси; H — высота здания от планировочной отметки; k1 и γω, — коэффициенты, учитывающие влияние формы сечения и проемности стен.

Значения коэффициента ξ1 для зданий с равномерно распределенной массой и с числом сосредоточенных масс больше двух
Рис. 12.11. Значения коэффициента ξ1 для зданий с равномерно распределенной массой и с числом сосредоточенных масс больше двух
Значения коэффициента ξ1, для зданий с двумя сосредоточенными массами
Рис. 12.12. Значения коэффициента ξ1, для зданий с двумя сосредоточенными массами
Значения коэффициента ξ2 для зданий с равномерно распределенной массой и с числом сосредоточенных масс больше двух
Рис. 12.13. Значения коэффициента ξ2 для зданий с равномерно распределенной массой и с числом сосредоточенных масс больше двух

Для предварительной оценки параметры u, v и λ могут быть определены по формулам:

(12.52)

где α1 = A0/A; α2 = I/A; Сz — коэффициент упругого равномерного сжатия грунта; b — ширина здания; A0 — площадь здания по внешнему контуру фундамента; β0 — коэффициент, принимаемый равным: для железобетонных зданий 3·104 Н/м2; для кирпичных зданий 3·104 Н/м2; v — коэффициент, принимаемый равным: для железобетонных зданий 0,1; для кирпичных зданий 0,06.

При u ≥ 5 и v ≥ 5 податливость основания при определении периодов свободных колебаний зданий можно не учитывать. Погрешность при этом составляет не более 20 %.

Коэффициенты жесткости основания kx и kφ необходимые для вычисления параметров u, v и λ в формулах (12.51), для различных типов фундаментов определяются следующим образом:

а) для фундаментов из перекрестных лент с учетом того, что отношение меньшего размера выреза к ширине ленты для большинства жилых и общественных зданий, как правило, не превышает 10, значения коэффициентов kx и kφ допускается определять как для сплошного фундамента с размерами, соответствующими размерам здания по внешнему контуру ленточного фундамента:

kx = 0,7CzA0;
(12.53)
kλ = kCzI0,
(12.54)

где A0 и I0 — площадь подошвы сплошного фундамента и ее момент инерции относительно продольной оси; k — коэффициент формы фундамента, определяемый по рис. 12.14 в зависимости от отношения длины сплошного фундамента l к его ширине b;

б) для фундаментов столбчатых при lm/b < 2,5 (где lm — наименьшее расстояние между соседними фундаментами, а b — сторона фундамента в том же направлении) коэффициенты жесткости основания kx и kφ определяются как для сплошного фундамента по формулам (12.53) и (12.54); при lm/b ≥ 2,5 коэффициенты жесткости следует определять как сумму жесткостей отдельных фундаментов в соответствии со схемой их расположения;

в) для свайных фундаментов (с низким ростверком) коэффициенты жесткости kx и kφ следует определять как для ленточных или столбчатых фундаментов в зависимости от типа ростверка без учета жесткости свай или, при необходимости более точного расчета, по формулам, приведенным в п. 9.2.

Пример 12.5. Требуется определить период свободных колебаний крупнопанельного здания с учетом податливости основания. Расчетная схема здания — консольный стержень с равномерно распределенной по высоте массой. Высота здания H = 27 м; ширина b = 12 м; длина l = 80 м; равномерно распределенная масса по высоте здания m = 3,5·102 кг/м. Площадь стен здания в плане A = 120 м2; момент инерции площади сечения стен здания I = 500 м4. Фундаменты ленточные (перекрестные) с расстоянием между поперечными осями 2,6 и 3,2 м и шириной ленты 0,4 м. Расчетная площадь подошвы фундамента, определенная как для сплошной плиты, A0 = 960 м2; момент инерции площади подошвы фундамента I0 = 12·103 м4; коэффициенты проемности стен γω = 0,64 и формы сечения стен k1 = 2,4. Модуль упругости материала стен при сжатии Em = 2·1010 Па, при сдвиге G = 0,8·1010 Па. Грунт в основании здания представлен суглинком E = 270·105 Па.

Решение. Коэффициент упругого равномерного сжатия грунта определяем по формуле

Н/м3,

где b0 = 1,2 (для суглинка), а площадь подошвы А, принимается равной 200 м2.

Коэффициенты жесткости основания находим по зависимостям (12.53) и (12.54) (при k = 4,55, определенному по рис. 12.14 при отношении сторон фундамента l/b = 6,65):

kx = 0,7 · 40 · 106 · 960 = 27 · 109Н/м;

kφ = 4,55 · 40 · 106 · 12 · 103 = 218 · 1010 Н/м.

Зависимость коэффициента k от отношения длины фундамента к его ширине
Рис. 12.14. Зависимость коэффициента k от отношения длины фундамента к его ширине

Параметры u, v и λ вычисляем по формулам (12.51):

;

;

.

В соответствии с рис. 12.11 коэффициент податливости основания для первой формы колебаний ξ1 = 0,7.

Период первого тона свободных колебаний здания, определенный в предположении абсолютно жесткой заделки основания с учетом деформаций изгиба и сдвига, равен Т = 0,285 с. Период первого тона свободных колебаний здания с учетом податливости основания находим по формуле (12,50):

T1 = 0,285/0,7 = 0,41 с.