§ 79. ОБДЕЛКИ СО СВЯЗЯМИ РАСТЯЖЕНИЯ В СТЫКАХ (ч.1)

Расчет обделки как свободно деформирующегося кольца. В слабых водонасыщенных грунтах (илы, плывуны, супеси), не способных оказать существенного сопротивления деформациям применяемой в этих случаях тюбинговой обделки, обделку можно рассчитывать как кольцо, свободно деформирующееся под действием внешних нагрузок и реакций грунта, их уравновешивающих (рис. 264).

Расчетная схема обделки как свободно деформирующегося кольца
Рис. 264. Расчетная схема обделки как свободно деформирующегося кольца

В запас прочности конструкции учитывают лишь вертикальные составляющие реакций грунта k, равномерно распределенные по горизонтальной проекции обделки:

Вертикальные составляющие реакций грунта.
(199)

В действительности при деформации обделки неизбежно возникновение пассивного сопротивления грунта, ограничивающего свободу горизонтальных деформаций обделки и уменьшающего изгибающие моменты в ее сечениях.

В качестве расчетной схемы обделки принято кольцо постоянной жесткости, заделанное в нижней точке. Так как внешние воздействия на кольцо уравновешены, суммарное усилие в фиктивной заделке равно нулю.

Изгибающие моменты и нормальные силы в сечениях кольца, расположенных под углом Θ к его оси, находят суммированием соответствующих усилий от внешних нагрузок и вертикальных реакций грунта, которые могут быть определены по формулам табл. 24.

Собственный вес обделки учитывают в монтажной стадии при более неблагоприятных условиях опирания, поэтому в рабочей стадии его учитывать не следует.

Расчет обделки как кольца в упругой среде. В породах, способных создать отпор, ограничивающий деформации обделки, она работает как кольцо в упругой среде. Отпор возникает лишь на части контура, где обделка вдавливается в породу. Верхняя часть обделки, деформируясь, смещается внутрь выработки и работает как свод, упруго защемленный в нижнюю часть (рис. 265, а).

Такого рода конструкции рассчитывают обычно с заменой сплошной упругой среды отдельными опорами с эквивалентными упругими свойствами (рис. 265, б). Основные допущения, положенные в основу выбора расчетной схемы, изложены в § 39.

Обделка-кольцо в упругой среде
Рис. 265. Обделка-кольцо в упругой среде

Ниже приведены особенности расчета, характерные для обделок кругового очертания. Расчетная схема (рис. 266, а) представляет собой правильный вписанный многоугольник на радиально направленных упругих опорах. Силы трения между обделкой и породой улучшают напряженное состояние обделки, поэтому пренебрежение ими идет в запас прочности конструкции. Достаточная для практических целей точность расчета обеспечивается при замене окружности шестнадцатиугольником (φ = 22°30').

Число упругих опор зависит от соотношений жесткостей обделки и основания, а также горизонтальной и вертикальной нагрузок (ε = p/q). В случае тюбинговых обделок число упругих опор может быть принято равным тринадцати при ε = 0÷0,2 (2φ0 = 67°30') и одиннадцати при ε = 0,3÷0,5 (2φ0 = 112°30').

Все опоры имеют одинаковые характеристики жесткости D = kab (а = 2r sinφ/2 — длина стороны многоугольника; b — расчетная ширина кольца обделки, обычно принимаемая равной 1 м). Так как расчет, как правило, производят на симметричные нагрузки, целесообразно опору в нижней точке кольца представить в виде двух стержней с характеристиками жесткости D/2.

В качестве основной системы принята трехшарнирная арка, опирающаяся на шарнирно-стержневую цепь на упругих опорах, а в качестве неизвестных — парные изгибающие моменты в симметричных шарнирах (рис. 266, б).

Расчетная схема и основная система обделки на упругих опорах
Рис. 266. Расчетная схема и основная система обделки на упругих опорах

Нижняя половина кольца подвергается действию радиального отпора породы, распределение которого обычно близко к равномерному. Кроме того, ее часто устраивают из облегченных тюбингов, имеющих значительно меньшую жесткость, чем тюбинги верхней половины кольца, и, следовательно, воспринимающих меньшие изгибающие моменты. Поэтому изгибающие моменты в сечениях ниже горизонтального диаметра невелики и их влиянием на напряженное состояние верхнего свода можно пренебречь, что значительно упрощает расчет.

В дальнейшем расчетная схема, в которой принято, что M4 = М5 = M6 = М7 = 0 (рис. 267), названа упрощенной. В этом случае определению подлежат четыре или три неизвестных соответственно для многоугольника на тринадцати и одиннадцати опорах.

Упрощенная расчетная схема обделки на упругих опорах
Рис. 267. Упрощенная расчетная схема обделки на упругих опорах

Таблица 24

Формулы для расчета обделки как свободно деформирующегося кольца

Характер нагрузки Пределы
применимости
формул
Формулы для определения усилий в произвольном сечении обделки
M N
Вертикальное давление грунта q 0 ≤ θ ≤ π/2
π/2 ≤ θ ≤ π
qr2(0,193 + 0,106 cos θ – 0,5 sin2θ)
qr2(0,693 + 0,106 cos θ – sin θ)
qr(sin2θ – 0,106 cos θ)
qr(sin θ – 0,106 cos θ)
Давление воды h 0 ≤ θ ≤ π r3(0,5 – 0,25 cos θ – 0,5 θ sin θ) r2(1 – 0,25 cos θ – 0,5 θ sin θ) + hr
Горизонтальное давление грунта:
   p1
   p2
 
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ θ ≤ π
 
p1r2(0,25 – 0,5cos2θ)
p2r2(0,25 sin2θ + 0,083 cos3θ – 0,063 cos θ – 0,125)
 
p1r cos2θ
p2r cos θ(0,063 + 0,5 cos θ – 0,25 cos2θ)
Вертикальная реакция грунта k 0 ≤ θ ≤ π/2
π/2 ≤ θ ≤ π
kr2(0,057 – 0,106 cos θ)
kr2(–0,443 + sin θ – 0,106 cos θ – 0,5 sin2θ)
0,106 kr cos θ
kr(sin2θ – sin θ + 0,106 cos θ)

Усилия в основной системе находят в соответствии с указаниями § 39. Для обделки кругового очертания вычисления упрощаются вследствие равенства сторон многоугольника и радиального направления опор. Так, обращаются в нуль усилия в стержнях и опорах за пределами зоны непосредственного действия единичных моментов во вспомогательных состояниях основной системы, если они приложены в любых точках шарнирно-стержневой цепи, кроме опорной точки трехшарнирной арки.

Усилия в основной системе изображают на развертке полуоси обделки аналогично рис. 95. На рис. 268 приведена соответствующая развертка для упрощенной расчетной схемы обделки на тринадцати опорах.

Перемещения основной системы определяют по формуле (91). При этом в породах с коэффициентом упругого отпора k ≤ 10 кгс/см3 они могут быть с достаточной точностью найдены без учета обжатия оси нормальными силами, т.е. по двучленной формуле

Перемещения основной системы без учета обжатия оси нормальными силами,
(200)

где Е — модуль упругости (для чугуна Е = 107 тс/м2); Dm — характеристика жесткости для всех опор, кроме нижней: Dm = D = kab.

Таблица усилий в основной системе
Рис. 268. Таблица усилий в основной системе

В породах с k > 10 кгс/см3 учет влияния нормальных сил на деформации основной системы вызывает увеличение изгибающего момента в наиболее напряженном замковом сечении обделки, и им пренебрегать не следует.

Неизвестные моменты в местах введения шарниров определяются из решения канонических уравнений, отрицающих суммарные перемещения по направлению отброшенных связей:

,
(201)

где А и  — соответственно матрица единичных и вектор грузовых перемещений основной системы;  — вектор неизвестных.

Для упрощенной расчетной схемы матрицы А и векторы и имеют вид:

при обделке на тринадцати опорах

; ; ;
(202)

при обделке на одиннадцати опорах

; ;.
(203)

Правильность вычисления перемещений контролируют в общем случае по формуле (94), а для упрощенной расчетной схемы — по формулам:

(204)

где Rms и Rmp — усилия в опоре m соответственно в суммарном S и грузовом Р состояниях; Dm — характеристика жесткости опоры m; ωmp — площадь эпюры моментов от нагрузки на трехшарнирной арке.

Значения моментов в сечениях трехшарнирной арки, а также усилия в стержнях и опорах определяют по формулам (95).

В общем случае условием правильности статического расчета является равенство нулю угла поворота в замковом сечении, т.е. приведенной площади эпюры моментов:

Приведенные площади эпюры моментов,
(205)

где ωm — площадь эпюры моментов на стержне m, имеющем момент инерции Im.

Для упрощенной расчетной схемы условием правильности расчета является равенство нулю суммы углов поворота по направлению лишних неизвестных. На рис. 269 изображены результаты расчета и суммарное состояние основной системы. При Im = const

,
(206)

где ω0–3 — площадь заштрихованной части эпюры моментов между точками 0 и 3; Rm и Rms — реакции опоры m в окончательном и суммарном состояниях.

Окончательные усилия в обделке на упругих опорах
Рис. 269. Окончательные усилия в обделке на упругих опорах

Изложенный метод расчета сборных обделок со связями растяжения в стыках как кольца в упругой среде полностью применим для расчета обделок кругового очертания из монолитно-прессованного бетона, которые обладают непрерывной упругой осью.

Недостатком изложенного метода расчета тоннельных обделок в упругой среде является применение теории местных деформаций с оценкой упругих свойств основания с помощью коэффициента упругого отпора k, не являющегося физико-механической характеристикой породы.

Волков В.П., Наумов С.Н., Пирожкова А.Н., Храпов В.Г. Тоннели и метрополитены