§ 80. ОБДЕЛКИ БЕЗ СВЯЗЕЙ РАСТЯЖЕНИЯ В СТЫКАХ (ч. 2)
Расчет многошарнирной обделки в упругой среде. Как следует из вышеизложенного, обделку из железобетонных блоков со стыками любого вида рассчитывают как многошарнирную конструкцию в упругой среде, расчетная схема которой изображена на рис. 277. Усилия в такой конструкции могут быть определены методом, изложенным в § 79. В этом случае границы безотпорного участка близки к опорным точкам трехшарнирной арки. Поэтому для верхней упругой опоры характеристика жесткости
.
В качестве лишних неизвестных принимают изгибающие моменты в средних точках блоков с четными индексами (М2, М4 и т.д.).
Усилия в основной системе от единичных моментов и нагрузки определяют обычным способом и изображают на развертке полуоси обделки (рис. 280).

Наиболее напряженной частью блочной обделки является трехшарнирная арка, подвергающаяся действию вертикальной q и горизонтальной р равномерно распределенных нагрузок (рис. 281). Так как деформации арки не влияют на перемещения по направлению неизвестных, целесообразно рассматривать арку как кривой брус, не заменяя распределенных нагрузок сосредоточенными.

Реакции арки:


Усилия в сечениях арки:


Независимо от соотношения нагрузок ε = p/q наибольший момент возникает в сечении под углом ΘΘ к вертикали:


Усилия, передающиеся в точку 1 нижней части обделки:


При определении перемещений основной системы следует иметь в виду, что длины сторон многоугольника неодинаковы:
для стандартных блоков
;
для лоткового блока
,
где φл — угол, соответствующий половине лоткового блока.
Кроме верхней опоры, характеристиками жесткости, отличными от стандартных, обладают предпоследняя [D5 = kb(a + aл)/2] и последняя (D6 = Dл/2 = kaлb/2).
Перемещения основной системы, зависящие лишь от деформаций ломаной балки и основания, определяют при k ≤ 10 кгс/см3 без учета обжатия стержней нормальными силами по формуле (200). Правильность их определения проверяют по формулам:


где n — число стандартных блоков в полукольце (в данном случае n = 3); Iл — среднее значение момента инерции лоткового блока; Rms и Rmp — усилия в опоре m в суммарном S и грузовом Р состояниях основной системы.
С учетом обращения в нуль δMik, ΔMip и δR26 матрица и вектор грузовых перемещений, а также вектор неизвестных имеют вид:




Изгибающие моменты в средних точках блоков находят из уравнения
.
Ввиду малого числа неизвестных целесообразно непосредственное решение уравнений без получения обратной матрицы (например, способом Гаусса).
Усилия в стержнях и опорах обделки находят суммированием усилий вспомогательных состояний основной системы по формулам:


Проверку правильности расчета осуществляют сопряжением окончательных эпюры моментов и реакций опор (в случае необходимости нормальных сил) с суммарным состоянием S по формуле (200), результат которого должен быть равен нулю.
Эпюру упругого отпора σm = Rm/am (аm — длина постели опоры) строят в виде плавной кривой, проходящей через концы ординат в точках m и резко убывающей до нуля за точкой 1 на трехшарнирной арке. Нормальные силы по длине стержней приняты постоянными. Поэтому ординаты эпюры N в нижней части обделки равны полусуммам нормальных сил в примыкающих к опоре стержнях, а в сечениях трехшарнирной арки определяются по формуле (225).
Расчет обделки из жестких блоков. Если обделка состоит из большого количества блоков, их деформации от изгиба и обжатия незначительны и их можно не учитывать. Для прямого стержня на упругом основании такое допущение законно, если его приведенная длина λ, не превышает единицы. Учитывая условность определения коэффициента упругого отпора и нагрузок на тоннельную обделку, а также влияние нормальных сил, выравнивающих отпор по длине криволинейного стержня, этот критерий допустимо сделать менее строгим и считать блоки абсолютно жесткими, если λ ≤ 1,8.
Этому случаю соответствует неравенство


где rн — наружный радиус обделки; φ — центральный угол, соответствующий блоку; I — момент инерции сечения блока; Eб — модуль упругости железобетона данной марки.

Если принять равномерным распределение отпора породы на каждом блоке, кроме блока, входящего в состав трехшарнирной арки, то его интенсивность, а также нормальные силы и изгибающие моменты в сечениях каждого блока можно определить из уравнений равновесия.
Нормальную силу N0 — распор трехшарнирной арки — находят из уравнения ΣM1 = 0; поперечную силу Q1 — из уравнения ΣZ = 0 рис. 282, а). Остальные нормальные силы можно найти по формуле


где M0m — момент нагрузок (РM, Еm, Gm), приложенных к блоку m относительно центра обделки (рис. 282, б).
Проверку правильности определения нормальных сил производят из условия равенства нулю усилий, действующих на половину обделки относительно ее центра, по формуле рис. 283)


где Nn — нормальная сила в нижней точке обделки; G — полный вес кольца обделки шириной 1 м.

Для определения реакций породы Rm и поперечных сил Qm в нижней точке каждого блока имеются два уравнения проекций приложенных к блоку усилий на направления радиусов, проведенных в среднюю и нижнюю точки блоков (см. рис. 282, б). Из рассмотрения равновесия нижнего блока следует, что для определения реакции (на оси симметрии Qm = 0) имеются два уравнения. Поэтому, кроме реакции породы, определению подлежит угол β, составляемый ею с вертикалью. Следовательно, отпор на нижнем блоке в общем случае распределен неравномерно (β ≠ φ/2) (рис. 282, в).
Изгибающий момент в средней точке блока (рис. 284) равен


где МАmp — момент от нагрузки (q, p, G/2), действующей на нижнюю половину блока; Nm, Qm, Rm — нормальная и поперечная силы в точке m блока и радиальная реакция породы на блоке.

Несмотря на кажущуюся простоту такого приема расчета, его применение связано с большим объемом вычислительной работы.
Поэтому более целесообразен общий метод расчета с введением упругих опор, при котором изгибающие моменты в средних точках блоков получаются непосредственно из решения канонических уравнений.