§ 80. ОБДЕЛКИ БЕЗ СВЯЗЕЙ РАСТЯЖЕНИЯ В СТЫКАХ (ч. 2)

Расчет многошарнирной обделки в упругой среде. Как следует из вышеизложенного, обделку из железобетонных блоков со стыками любого вида рассчитывают как многошарнирную конструкцию в упругой среде, расчетная схема которой изображена на рис. 277. Усилия в такой конструкции могут быть определены методом, изложенным в § 79. В этом случае границы безотпорного участка близки к опорным точкам трехшарнирной арки. Поэтому для верхней упругой опоры характеристика жесткости

.

В качестве лишних неизвестных принимают изгибающие моменты в средних точках блоков с четными индексами (М₂, М₄ и т.д.).

Усилия в основной системе от единичных моментов и нагрузки определяют обычным способом и изображают на развертке полуоси обделки (рис. 280).

Наиболее напряженной частью блочной обделки является трехшарнирная арка, подвергающаяся действию вертикальной q и горизонтальной р равномерно распределенных нагрузок (рис. 281). Так как деформации арки не влияют на перемещения по направлению неизвестных, целесообразно рассматривать арку как кривой брус, не заменяя распределенных нагрузок сосредоточенными.

Реакции арки:

Усилия в сечениях арки:

Независимо от соотношения нагрузок ε = p/q наибольший момент возникает в сечении под углом Θ_Θ к вертикали:

Усилия, передающиеся в точку 1 нижней части обделки:

При определении перемещений основной системы следует иметь в виду, что длины сторон многоугольника неодинаковы:

для стандартных блоков

;

для лоткового блока

,

где φ_л — угол, соответствующий половине лоткового блока.

Кроме верхней опоры, характеристиками жесткости, отличными от стандартных, обладают предпоследняя [D₅ = kb(a + a_л)/2] и последняя (D₆ = D_л/2 = ka_лb/2).

Перемещения основной системы, зависящие лишь от деформаций ломаной балки и основания, определяют при k ≤ 10 кгс/см³ без учета обжатия стержней нормальными силами по формуле (200). Правильность их определения проверяют по формулам:

где n — число стандартных блоков в полукольце (в данном случае n = 3); I_л — среднее значение момента инерции лоткового блока; R_ms и R_mp — усилия в опоре m в суммарном S и грузовом Р состояниях основной системы.

С учетом обращения в нуль δ^M_ik, Δ^M_ip и δ^R₂₆ матрица и вектор грузовых перемещений, а также вектор неизвестных имеют вид:

Изгибающие моменты в средних точках блоков находят из уравнения

.

Ввиду малого числа неизвестных целесообразно непосредственное решение уравнений без получения обратной матрицы (например, способом Гаусса).

Усилия в стержнях и опорах обделки находят суммированием усилий вспомогательных состояний основной системы по формулам:

Проверку правильности расчета осуществляют сопряжением окончательных эпюры моментов и реакций опор (в случае необходимости нормальных сил) с суммарным состоянием S по формуле (200), результат которого должен быть равен нулю.

Эпюру упругого отпора σ_m = R_m/a_m (а_m — длина постели опоры) строят в виде плавной кривой, проходящей через концы ординат в точках m и резко убывающей до нуля за точкой 1 на трехшарнирной арке. Нормальные силы по длине стержней приняты постоянными. Поэтому ординаты эпюры N в нижней части обделки равны полусуммам нормальных сил в примыкающих к опоре стержнях, а в сечениях трехшарнирной арки определяются по формуле (225).

Расчет обделки из жестких блоков. Если обделка состоит из большого количества блоков, их деформации от изгиба и обжатия незначительны и их можно не учитывать. Для прямого стержня на упругом основании такое допущение законно, если его приведенная длина λ, не превышает единицы. Учитывая условность определения коэффициента упругого отпора и нагрузок на тоннельную обделку, а также влияние нормальных сил, выравнивающих отпор по длине криволинейного стержня, этот критерий допустимо сделать менее строгим и считать блоки абсолютно жесткими, если λ ≤ 1,8.

Этому случаю соответствует неравенство

где r_н — наружный радиус обделки; φ — центральный угол, соответствующий блоку; I — момент инерции сечения блока; E_б — модуль упругости железобетона данной марки.

Если принять равномерным распределение отпора породы на каждом блоке, кроме блока, входящего в состав трехшарнирной арки, то его интенсивность, а также нормальные силы и изгибающие моменты в сечениях каждого блока можно определить из уравнений равновесия.

Нормальную силу N₀ — распор трехшарнирной арки — находят из уравнения ΣM₁ = 0; поперечную силу Q₁ — из уравнения ΣZ = 0 рис. 282, а). Остальные нормальные силы можно найти по формуле

где M_0m — момент нагрузок (Р_M, Е_m, G_m), приложенных к блоку m относительно центра обделки (рис. 282, б).

Проверку правильности определения нормальных сил производят из условия равенства нулю усилий, действующих на половину обделки относительно ее центра, по формуле рис. 283)

где N_n — нормальная сила в нижней точке обделки; G — полный вес кольца обделки шириной 1 м.

Для определения реакций породы R_m и поперечных сил Q_m в нижней точке каждого блока имеются два уравнения проекций приложенных к блоку усилий на направления радиусов, проведенных в среднюю и нижнюю точки блоков (см. рис. 282, б). Из рассмотрения равновесия нижнего блока следует, что для определения реакции (на оси симметрии Q_m = 0) имеются два уравнения. Поэтому, кроме реакции породы, определению подлежит угол β, составляемый ею с вертикалью. Следовательно, отпор на нижнем блоке в общем случае распределен неравномерно (β ≠ φ/2) (рис. 282, в).

Изгибающий момент в средней точке блока (рис. 284) равен

где М_Аmp — момент от нагрузки (q, p, G/2), действующей на нижнюю половину блока; N_m, Q_m, R_m — нормальная и поперечная силы в точке m блока и радиальная реакция породы на блоке.

Несмотря на кажущуюся простоту такого приема расчета, его применение связано с большим объемом вычислительной работы.

Поэтому более целесообразен общий метод расчета с введением упругих опор, при котором изгибающие моменты в средних точках блоков получаются непосредственно из решения канонических уравнений.