§ 80. ОБДЕЛКИ БЕЗ СВЯЗЕЙ РАСТЯЖЕНИЯ В СТЫКАХ (ч. 2)

Расчет многошарнирной обделки в упругой среде. Как следует из вышеизложенного, обделку из железобетонных блоков со стыками любого вида рассчитывают как многошарнирную конструкцию в упругой среде, расчетная схема которой изображена на рис. 277. Усилия в такой конструкции могут быть определены методом, изложенным в § 79. В этом случае границы безотпорного участка близки к опорным точкам трехшарнирной арки. Поэтому для верхней упругой опоры характеристика жесткости

Характеристика жесткости верхней упругой опоры.

В качестве лишних неизвестных принимают изгибающие моменты в средних точках блоков с четными индексами (М2, М4 и т.д.).

Усилия в основной системе от единичных моментов и нагрузки определяют обычным способом и изображают на развертке полуоси обделки (рис. 280).

Таблица усилий в основной системе
Рис. 280. Таблица усилий в основной системе

Наиболее напряженной частью блочной обделки является трехшарнирная арка, подвергающаяся действию вертикальной q и горизонтальной р равномерно распределенных нагрузок (рис. 281). Так как деформации арки не влияют на перемещения по направлению неизвестных, целесообразно рассматривать арку как кривой брус, не заменяя распределенных нагрузок сосредоточенными.

Трехшарнирная арка блочной обделки
Рис. 281. Трехшарнирная арка блочной обделки

Реакции арки:

Реакции арки
(224)

Усилия в сечениях арки:

Усилия в сечениях арки
(225)

Независимо от соотношения нагрузок ε = p/q наибольший момент возникает в сечении под углом ΘΘ к вертикали:

Угол максимального момента в сечении обделки.
(226)

Усилия, передающиеся в точку 1 нижней части обделки:

Усилия передающиеся в точку нижней части обделки
(227)

При определении перемещений основной системы следует иметь в виду, что длины сторон многоугольника неодинаковы:

для стандартных блоков

;

для лоткового блока

,

где φл — угол, соответствующий половине лоткового блока.

Кроме верхней опоры, характеристиками жесткости, отличными от стандартных, обладают предпоследняя [D5 = kb(a + aл)/2] и последняя (D6 = Dл/2 = kaлb/2).

Перемещения основной системы, зависящие лишь от деформаций ломаной балки и основания, определяют при k ≤ 10 кгс/см3 без учета обжатия стержней нормальными силами по формуле (200). Правильность их определения проверяют по формулам:

Перемещения основной системы
(228)

где n — число стандартных блоков в полукольце (в данном случае n = 3); Iл — среднее значение момента инерции лоткового блока; Rms и Rmp — усилия в опоре m в суммарном S и грузовом Р состояниях основной системы.

С учетом обращения в нуль δMik, ΔMip и δR26 матрица и вектор грузовых перемещений, а также вектор неизвестных имеют вид:

; ; .
(229)

Изгибающие моменты в средних точках блоков находят из уравнения

.

Ввиду малого числа неизвестных целесообразно непосредственное решение уравнений без получения обратной матрицы (например, способом Гаусса).

Усилия в стержнях и опорах обделки находят суммированием усилий вспомогательных состояний основной системы по формулам:

Усилия в стержнях и опорах обделки
(230)

Проверку правильности расчета осуществляют сопряжением окончательных эпюры моментов и реакций опор (в случае необходимости нормальных сил) с суммарным состоянием S по формуле (200), результат которого должен быть равен нулю.

Эпюру упругого отпора σm = Rm/am (аm — длина постели опоры) строят в виде плавной кривой, проходящей через концы ординат в точках m и резко убывающей до нуля за точкой 1 на трехшарнирной арке. Нормальные силы по длине стержней приняты постоянными. Поэтому ординаты эпюры N в нижней части обделки равны полусуммам нормальных сил в примыкающих к опоре стержнях, а в сечениях трехшарнирной арки определяются по формуле (225).

Расчет обделки из жестких блоков. Если обделка состоит из большого количества блоков, их деформации от изгиба и обжатия незначительны и их можно не учитывать. Для прямого стержня на упругом основании такое допущение законно, если его приведенная длина λ, не превышает единицы. Учитывая условность определения коэффициента упругого отпора и нагрузок на тоннельную обделку, а также влияние нормальных сил, выравнивающих отпор по длине криволинейного стержня, этот критерий допустимо сделать менее строгим и считать блоки абсолютно жесткими, если λ ≤ 1,8.

Этому случаю соответствует неравенство

,
(231)

где rн — наружный радиус обделки; φ — центральный угол, соответствующий блоку; I — момент инерции сечения блока; Eб — модуль упругости железобетона данной марки.

Обделка из жестких блоков
Рис. 282. Обделка из жестких блоков

Если принять равномерным распределение отпора породы на каждом блоке, кроме блока, входящего в состав трехшарнирной арки, то его интенсивность, а также нормальные силы и изгибающие моменты в сечениях каждого блока можно определить из уравнений равновесия.

Нормальную силу N0 — распор трехшарнирной арки — находят из уравнения ΣM1 = 0; поперечную силу Q1 — из уравнения ΣZ = 0 рис. 282, а). Остальные нормальные силы можно найти по формуле

,
(232)

где M0m — момент нагрузок (РM, Еm, Gm), приложенных к блоку m относительно центра обделки (рис. 282, б).

Проверку правильности определения нормальных сил производят из условия равенства нулю усилий, действующих на половину обделки относительно ее центра, по формуле рис. 283)

,
(233)

где Nn — нормальная сила в нижней точке обделки; G — полный вес кольца обделки шириной 1 м.

Проверка нормальных сил в обделке
Рис. 283. Проверка нормальных сил в обделке

Для определения реакций породы Rm и поперечных сил Qm в нижней точке каждого блока имеются два уравнения проекций приложенных к блоку усилий на направления радиусов, проведенных в среднюю и нижнюю точки блоков (см. рис. 282, б). Из рассмотрения равновесия нижнего блока следует, что для определения реакции (на оси симметрии Qm = 0) имеются два уравнения. Поэтому, кроме реакции породы, определению подлежит угол β, составляемый ею с вертикалью. Следовательно, отпор на нижнем блоке в общем случае распределен неравномерно (β ≠ φ/2) (рис. 282, в).

Изгибающий момент в средней точке блока (рис. 284) равен

Изгибающий момент в средней точке блока,
(234)

где МАmp — момент от нагрузки (q, p, G/2), действующей на нижнюю половину блока; Nm, Qm, Rm — нормальная и поперечная силы в точке m блока и радиальная реакция породы на блоке.

Изгибающий момент в середине блока
Рис. 284. Изгибающий момент в середине блока

Несмотря на кажущуюся простоту такого приема расчета, его применение связано с большим объемом вычислительной работы.

Поэтому более целесообразен общий метод расчета с введением упругих опор, при котором изгибающие моменты в средних точках блоков получаются непосредственно из решения канонических уравнений.

Волков В.П., Наумов С.Н., Пирожкова А.Н., Храпов В.Г. Тоннели и метрополитены