14.3.6. Расчет устойчивости отсека грунтового массива против сдвига по выбранной поверхности
Расчетная схема 1 (поверхность произвольной формы). Рассматриваемая поверхность аппроксимируется ломаной поверхностью. Отсек грунтового массива разбивается вертикальными линиями на элементы так, чтобы основание каждого элемента было плоским и однородным с постоянными в пределах элемента характеристиками φ и с. Рассматриваются три уравнения равновесия сил, действующих на элемент отсека (см. схему 1 табл. 14.3):

(индексы «x» и «у» обозначают проекции векторов на соответствующие координатные оси) и суммарные уравнения равновесия всего отсека в целом:

совместно с соблюдающимся вдоль основания отсека в каждом его элементе условием предельного состояния, которое исходя из формул (14.1) и (14.3) выражается в виде:

где Еri — равнодействующая межэлементных сил взаимодействия с правой стороны i-го элемента, кН; Еli — то же с левой стороны i-го элемента, кН; ∆Еi — разность сил Еri–Еli, действующих на i-й элемент, кН; Ni — нормальная сила в подошве i-го элемента, кН; βi — угол между нормалью к границе i-гo элемента и направлением межэлементных сил, град; Ti — удерживающая сила в подошве i-го элемента, кН; hri — высота от низа правой границы i-го элемента до точки приложения силы Еri, м: hli — высота от низа левой границы i-го элемента до точки приложения силы Еli, м; bi — ширина i-го элемента по нормали к его границам, м; li — длина подошвы i-го элемента, м; y0i — расстояние от центра тяжести i-го элемента, определенного с учетом взвешивания грунта и нагрузки на поверхности, до оси х, м; yωi — расстояние от центра тяжести обводненной части i-го элемента до оси х, м; хi и уi — координаты центра основания i-го элемента, м.
Преобразование приведенных выше уравнений, учитывая, что в предельном состоянии должно соблюдаться условие

и принимая, что силы Е имеют постоянный угол наклона к горизонтали β на всех границах между элементами рассматриваемого отсека грунтового массива, приводит к системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными: Ni, ∆Ei, kst, β (см. табл. 14.3). Решение системы производится итерационным способом при двух итерационных величинах kst и β. Получаемое значение kst (фактического коэффициента запаса устойчивости против сдвига отсека грунтового массива по рассматриваемой поверхности) должно быть не меньше нормируемого (см. п. 14.3).
Этот расчет [7], хотя по строгости и уступает методу Соколовского, так как в нем сделан ряд допущений (например, β = const), с учетом этих допущений удовлетворяет всем трем уравнениям статики, дает достаточно достоверный результат и заслуживает предпочтения перед другими известными методами, в которых не все уравнения статики соблюдаются. Расчет по схеме 1 следует выполнять для всех ответственных объектов и для объектов, связанных с большими объемами работ, а также в других случаях, когда в грунтовом массиве есть выраженная ослабленная поверхность (например, основание оползневого тела, тектонический разлом и т.п.). Расчет выполняется с помощью ЭВМ*.
Расчетная схема 2 (ломаная поверхность). Этот расчет [6], как и расчет по схеме 1, предназначен для случаев, когда поверхность возможного сдвига грунта ожидается не кругло-цилиндрической или не плоской формы. Расчет основан на рассмотрении многоугольника сил, действующих на элемент, и предположении, что в предельном состоянии силы Е направлены под углом ψ/2 к границам между элементами (где ψ – угол сдвига). Подобно всем методам, основанным на рассмотрении силовых многоугольников или уравнений без учета моментов сил, в нем не соблюдается уравнение моментов, хотя он дает в общем приемлемый результат (в большинстве случаев с некоторым дополнительным запасом). Этим методом можно пользоваться при проектировании сооружений II и III класса, не связанных с большими объемами работ, а также при проведении сопоставительных расчетов для предварительного назначения профиля откоса и отыскания опасных поверхностей в массиве при проектировании ответственных сооружений, для которых окончательный расчет должен быть произведен по схеме 1.
При выполнении этого расчета можно ограничиться проверкой условия устойчивости отсека грунтового массива, поскольку коэффициент устойчивости kst вводится в прочностные характеристики грунта φ и с. При необходимости определения фактического коэффициента устойчивости отсека грунта он отыскивается графическим решением уравнения как значение kst в точке пересечения кривых двух функций F2 (kst) (см. формулы к расчетной схеме 2 табл. 14.3 и эскизы табл. 14.5 и 14.6). Оси координат и границы между элементами при расчете с учетом сейсмичности поворачиваются на угол ρhf к вертикали. Расчеты по формулам схемы 2 могут выполняться на современных калькуляторах, а также с помощью ЭВМ.
Расчетная схема 3 (круглоцилиндрическая поверхность). Поиск опасной поверхности производится подбором. Этот способ по его обоснованию [6] и результатам расчетов приближается к строгим способам, основанным на удовлетворении трех уравнений статики. Способ может применяться для расчетов откосов во всех случаях, когда в грунтовом массиве нет выраженной поверхности сдвига. Он может быть использован и для оценки местной устойчивости на отдельных участках откоса, в частности в местах залегания более прочных грунтов с относительно крутым откосом на более слабом основании. Расчет заключается либо в проверке условия устойчивости, либо в определении коэффициента устойчивости, так же как и при расчете по схеме 2, графическим путем. При учете сейсмического воздействия расчет следует вести с поворотом осей х и у и границ между элементами на угол ρhf. Расчетные формулы приведены в табл. 14.3.
Расчетная схема 4 (плоская поверхность). При выраженной в грунтовом массиве плоской ослабленной поверхности (контакт напластований, тектонический разлом и т.п.) с уклоном в сторону откоса необходимо проверить устойчивость отсека грунтового массива против сдвига по этой ослабленной поверхности. Во многих случаях параметры сопротивления грунта сдвигу принимаются по всей ослабленной поверхности. Тогда нет необходимости разбивать отсек на элементы, а можно рассматривать его как один элемент. В общем же случае, когда необходимо учитывать неоднородность грунтового массива, рассматриваемый отсек разбивается на элементы так же, как и при расчете по схеме 3. Расчетные формулы для проверки условия устойчивости и для определения коэффициента устойчивости приведены в табл. 14.3.
№ схемы | Расчетная схема | Расчетные формулы |
1 | ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
2 | ![]() |
Условия устойчивости![]() определение kst графически — в точке пересечения функций: ![]() ![]() где ![]() h'i — высота верхней (правой) границы i-го элемента, м; h''i — высота нижней (левой) границы i-го элемента, м; zi — разность отметок поверхности земли правой и левой границ i-го элемента, м. |
3 | ![]() |
Условие устойчивости![]() определение kst графически — в точке пересечения функций: ![]() ![]() |
4 | ![]() |
Условие устойчивости![]() определяем kst по формуле ![]() |
Экспликация к эскизам: 1 — депрессионная поверхность; 2 — поверхность предполагаемого сдвига; 3 — поверхность откоса.
Пример 14.3. Требуется определить необходимый профиль прибрежного склона, ограждающего территорию строительства, с учетом размещения (в случае устройства террас) парковой площадки на верхней террасе и нагрузки на ней 20 кПа. Должен быть обеспечен коэффициент устойчивости склона kst = 1,2. Склон расположен в районе, имеющем сейсмичность 7 баллов.
Геологический разрез представлен водоносными галечниками (с линзами глин и песчаников), залегающими на водоупорных пестроцветных глинах, поверхность кровли которых имеет падение в сторону откоса. Пестроцветные глины подстилаются водоносными песчаниками с прослойками глин. Расчетные характеристики грунтов приведены в табл. 14.4.
Грунты | φI, град | cI, кПа | γI, кН/м3 |
Галечник | 35 | 40 | 21,5 |
Верхние глины | 21 | 120 | 20 |
Песчаник | 35 | 88 | 21,5 |
Пестроцветные глины | 15 | 60 | 20 |
Депрессионная поверхность в галечниках и в верхних песчаниках выклинивается в борт откоса над кровлей подстилающих глин, а в нижних водоносных песчаниках — в водоем.
Характер напластований, дает возможность принять для расчета схемы сдвига по ломаным и круглоцилиндрическим поверхностям, которые в условиях плоской задачи изображаются ломаными линиями или дугами окружностей.
Решение. Отсек грунтового массива, ограниченный склоном и рассматриваемой поверхностью предполагаемого сдвига, разбивается на n элементов так, чтобы в основании каждого из них прочностные характеристики были постоянными. Границы между элементами в связи с наличием дополнительных сейсмических объемных сил принимаются под углом ρhf к вертикали.
Проверяем сначала общую устойчивость природного склона на сдвиг по ломаным поверхностям I (ABCD), II (AEK), III(AFD), IV (AFLM) и по круглоцилиндрическим поверхностям V и VI (рис. 14.13) исходя из расчетных характеристик φI и cI. Во всех расчетах величина Кhf для сейсмичности 7 баллов принята равной 0,05; ρhf = arctg 0,05 = 3°. Вес элементов подсчитывается с учетом взвешивания в их обводненной части.
При расчетах на сдвиг по ломаным поверхностям (по формулам схемы 2 табл. 14.3) наиболее опасной оказалась поверхность I, а по круглоцилиндрическим (по формулам схемы 3 табл. 14.3) — поверхность VI. Расчеты на сдвиг для ломаной поверхности I (рис. 14.14) и круглоцилиндрической поверхности VI (рис. 14.15) сведены соответственно в табл. 14.5 и 14.6. Как видно из этих таблиц, оба расчета дают в правой части уравнения предельного состояния положительные величины, отвечающие значениям коэффициента устойчивости соответственно 1,020 и 1,012, т.е. откос является практически оползнеопасным.
Для обеспечения устойчивости склона с kst = 1,2 проектируем срезку грунта вверху и перемещение срезанного грунта вниз для подсыпки подножия склона с образованием двух широких террас: верхней шириной 95 м и нижней шириной 30 м. Кроме этих террас по высоте склона намечаем бермы. Всего на склоне создается 11 уступов высотой 10–20 м с бермами шириной 8 м (на контактах слоев) и 6 м (в промежутках между контактами). Заложение откосов в песчаниках принимаем 1:1,5 в верхних уступах и 1:1,75 в нижнем уступе (рис. 14.16). Максимальная крутизна откоса в песчаниках не превосходят угла внутреннего трения крупнообломочной осыпи этой породы (36°). Нижний уступ принят более пологим с целью уменьшения нагрузки на подстилающие глины. В остальных грунтах принимаем крутизну 1: 2, что примерно очерчивает природный склон.


№ эле- мента |
c'i, кПа | φ'i, град | φ'i/2, град | ![]() |
bi, м | αi, град | ωi = αi + ρhf, град | ωi – φ'i, град | ctg(ωi – φ'i) | zi, м |
1 | 40 | 35 | 17,5 | 0,95 | 33 | 50 | 53 | 18 | 3,08 | 6 |
2 3 |
60 | 15 | 7,5 | 0,99 | 26 30 |
23 | 26 | 11 | 5,15 | 6 7 |
4 5 6 7 |
56 26 66 17 |
8 | 11 | –4 | –14,3 | 18 8 36 13 |
||||
1 | 36,4 | 32,5 | 16,25 | 0,96 | 33 | 50 | 53 | 20,5 | 2,675 | 6 |
2 3 |
54,5 | 13,7 | 6,85 | 0,993 | 26 30 |
23 | 26 | 12,3 | 4,586 | 6 7 |
4 5 6 7 |
56 26 66 17 |
8 | 11 | –2,7 | –21,2 | 18 8 36 13 |
Продолжение табл. 14.5
zictg(ωi – φ'i), м | zictg(ωi – φ'i) – bi, м | ![]() |
sin(ωi – φ'i) | ![]() |
![]() |
![]() |
18,5 | –14,5 | –13,9 | 0,309 | 52,5 | 0,5 | 1 |
30,9 36 |
4,9 6 |
4,83 5,96 |
0,191 | 22,5 | 3,5 | 0,998 |
–257,4 –114,4 –514,8 185,9 |
313,4 –140 –580,8 –202,2 |
–300,67 –138,74 –574,99 –201,07 |
–0,07 | 22,5 | –11,5 | 0,98 |
16 | –17 | –16,32 | 0,35 | 48,75 | 4,25 | 0,997 |
27,52 32,1 |
1,52 2,1 |
1,51 2,08 |
0,213 | 20,55 | 5,45 | 0,995 |
–381,6 –169,6 –763,2 –275, 6 |
–437,6 –195,6 –829,2 –292,6 |
–434,54 –194,23 –823,4 290,55 |
–0,047 | 20,55 | –9,55 | 0,986 |
Продолжение табл. 14.5
№ эле- мента |
![]() |
![]() |
h"i, м | h'i, м | h"i – h'i, м | ![]() |
c'i/tgφ'i, кПа | ![]() |
1 | 0,309 | –4,28 |
40 |
0 |
40 |
35,72 |
57,1 | 2039,6 |
2 3 |
0,191 | 0,92 1,14 |
45 54 |
40 45 |
5 9 |
5,92 10,14 |
223,9 | 1325,5 2270,3 |
4 5 6 7 |
–0,07 | 21,05 9,71 40,25 14,75 |
42 40 11 0 |
54 42 40 11 |
–12 –2 –29 –11 |
9,05 7,71 11,25 3,75 |
2026,3 1726,2 2518,8 839,6 |
|
Σ = 12746,3 | ||||||||
1 | 0,35 | –5,71 | 40 |
0 | 40 | 34,29 | 57,1 | 1958 |
2 3 |
0,214 | 0,323 0,445 |
45 54 |
40 45 |
5 9 |
5,323 9,445 |
223,9 | 1191,8 2114,7 |
4 5 6 7 |
–0,048 |
20,86 9,32 39,52 13,95 |
42 40 11 0 |
54 42 40 11 |
–12 –2 –29 –11 |
8,86 7,32 10,52 2,95 |
1983,7 1639 2355,4 660,5 |
|
Σ = 11903,1 |
Продолжение табл. 14.5
Gi, кН | ![]() |
![]() |
hωi, м | Δhωi, м | ![]() |
P'ωi = Pωi(1 + Khf), кН | kst |
14 130 |
14 207 |
4188 |
— |
— |
— |
— |
1,0 |
23 090 26 950 |
23 118 26 982 |
4375,4 5106,6 |
8,5 15 |
3,5 6 |
297,5 900 |
297,9 901,1 |
|
45 190 18 100 28 900 2 010 |
45 244 18 122 28 935 2 012 |
–3138,7 –1257,2 –2007,1 – 133,7 |
18 14 7,5 — |
11 5 13 — |
1980 700 975 — |
1982,4 700,8 976,2 — |
|
Σ = 7133,3 | Σ = 4858,4 | ||||||
14 190 |
14 207 |
4961,2 |
— |
— |
— |
— |
1,1 |
23 090 26 950 |
23 118 26 982 |
4912,6 5733,7 |
8,5 15 |
3,5 6 |
297,5 900 |
297,9 901,1 |
|
45 190 18 100 28 900 2 010 |
45 244 18 122 28 935 2 012 |
–2156,5 –863,8 –1379,2 –95,9 |
18 14 7,5 — |
11 5 13 — |
1980 700 975 — |
1982,4 700,8 976,2 — |
|
Σ = 11112,1 | Σ = 4858,4 |
kst = 1,0; F1 = 12 746,3; F2 = (7133,3 + 4858,4) = 11991,7;
kst = 1,1; F1 = 11 903,1; F2 = (11112,1 + 4858,4) = 15970,5.
№ эле- мента |
φ'i, град | tgφ'i | Gi, кН | ![]() |
G'itgφ'i, кН | bi, м | c'i, кПа | bic'i, кН | G'itgφ'i + bic'i, кН | αi, град | ωi = αi + ρhf, град | tgωi | tgφ'itgωi |
1 2 3 4 5 6 7 8 |
35 | 0,7 | 24 940 21 980 18 330 32 380 19 730 27 770 9 380 20 280 |
24 970 22 010 18 350 32 420 19 750 27 800 9 390 20 300 |
17 479 5 899 4 918 8 688 5 293 7 450 2 516 5 442 |
58 24,5 19,5 36,5 22 35 12,5 52 |
40 | 2320 1470 1170 2190 1320 2100 750 3120 |
19 799 7 369 6 088 10 878 6 613 9 550 3 266 8 562 |
41 28 25 17 15 6,5 4,5 –5,5 |
44 31 28 20 18 9,5 7,5 –2,5 |
0,966 0,600 0,532 0,364 0,325 0,167 0,132 –0,044 |
0,676 0,161 0,142 0,126 0,087 0,045 0,035 –0,012 |
15 | 0,268 | 60 | |||||||||||
1 2 3 4 5 6 7 8 |
30,15 | 0,583 | 24 940 21 980 13 330 32 380 19 730 27 770 9 380 20 280 |
24 970 22 010 18 350 32 420 19 750 27 800 9 390 20 300 |
14 558 4 908 4 092 7 230 4 404 6 199 2 094 4 527 |
58 24,5 19,5 36,5 22 35 12,5 52 |
33,3 | 1931 1225 975 1825 1100 1750 625 2600 |
16 489 6 133 5 067 9 055 5 504 7 949 2 719 7 127 |
41 28 25 17 15 6,5 4,5 –5,5 |
44 31 28 20 18 9,5 7,5 –2,5 |
0,966 0,600 0,532 0,364 0,325 0,167 0,132 –0,044 |
0,563 0,314 0,119 0,08 0,072 0,037 0,029 –0,01 |
12,5 | 0,223 | 50 |
Продолжение табл. 14.6
1 + tg'φitgωi | cosωi | (1 + tg'φitgωi)× ×cosωi |
![]() |
sinωi | Gisinωi, кН | hωi, м | Gωi = γωhωibi, кН | ![]() |
G'ωisinωi, кН | kst |
1,676 1,161 1,142 1,126 1,087 1,045 1,035 0,988 |
0,719 0,857 0,883 0,94 0,966 0,986 0,991 0,999 |
1,205 0,995 1,01 1,06 1,05 1,03 1,026 0,987 |
16 431,5 7 406 6 028 10 262,3 6 298 9 272 3 183,2 8 675 |
0,695 0,515 0,469 0,342 0,309 0,165 0,130 –0,044 |
17 354 11 335 8 606 11 088 6 103,1 4 587 1 220,7 –893,0 |
— 8 15 18,5 18,5 14 10 6 |
— 1 960 2 925 6 752 4 070 4 900 1 250 2 120 |
— 1 962 2 928 6 760 4 075 4 910 1 252 3 124 |
— 1 010,4 1 373,2 2 312 1 259,2 810 163 –138 |
1,0 |
Σ = 67 556 | Σ = 59 400,8 | Σ = 6 789,8 | ||||||||
1,563 1,134 1,119 1,08 1,072 1,037 1,035 0,99 |
0,719 0,857 0,883 0,94 0,966 0,986 0,991 0,999 |
1,124 0,972 0,998 1,015 1,04 1,022 1,021 0,98 |
14 670 6 310 5 128,5 8 921,1 5 292,3 7 778 2 663,1 7 206 |
0,695 1,515 0,469 0,342 0,309 0,165 0,130 –0,044 |
17 354 11 335 8 686 11 088 6 103,1 4 687 1 220,7 –893,0 |
— 8 15 18,5 18,5 14 10 6 |
— 1 960 1 926 6 752 4 070 4 900 1 250 3 120 |
— 1 962 2 928 6 760 4 075 4 910 1 252 3 124 |
— 1 010,4 1 373,2 2 312 1 259,2 810 163 –138 |
1,2 |
Σ = 57 969 | Σ = 59 400,8 | Σ = 6 789,8 |
kst = 1,0; F1 = 67 556; F2 = 59400,8 + 6789,8 = 66190,6;
kst = 1,2; F1 = 57 969; F2 = 66190,6
Это очертание склона подобрано путем последовательных расчетов на сдвиг по круглоцилиндрическим поверхностям (по схеме 3 табл. 14.3) с учетом возможного образования трещин в песчаниках и верхних глинах. Трещины учитываются тем, что на проходящих в этих грунтах участках поверхностей, по которым проверяется возможность сдвига, сцепление в песчаниках принимаем равным нулю, я в верхних глинах — с коэффициентом 0,5. Расчетные характеристики грунта отсыпки, выполняемой из галечника, принимаем: φI = 35°; cI = 7,2 кПа; γI = 20 кН/м3.
При принятом очертании соблюден удовлетворительный баланс земляных работ. Небольшая часть срезанного грунта вывозится. До отвода поверхностных вод на бермах предусматриваются канавки, а в месте выхода грунтовых вод верхнего водоносного горизонта — трубчатый дренаж.
В результате расчетов отметка верхней террасы определилась +110,00 м, нижней — +50,00 м; наиболее опасной оказалась круглоцилиндрическая поверхность VII.
Проверку общей устойчивости склона при подобранном очертании по расчетной поверхности VII производим, применяя строгий расчет по схеме 1 (табл. 14.3) с выполнением вычислений на ЭВМ по разработанной институтом Фундаментпроект программе. Исходные данные для расчета на ЭВМ приведены в табл. 14.7.
Для расчета выполняется следующее:
- начало координат размещаем в верхней точке пересечения поверхности VII с контуром откоса;
- сдвигаемый массив разбиваем на 20 вертикальных элементов в соответствии с рекомендациями, изложенными в основных принципах определения требуемого контура откоса в сложных условиях (см. п. 14.4);
- геологическое строение сдвигаемого массива задаем в виде высот слоев грунта от поверхности VII по левой и правой границам элементов;
- положение поверхности VII и депрессионной поверхности задаем абсциссам и ординатам в принятой системе координат;
- в подошвах элементов принимаем расчетные значения φI и сI.
В результате расчета на ЭВМ коэффициент устойчивости запроектированного склона kst получился равным 1,202.
Кроме проверки устойчивости всего склона в целом, рассматривается местная устойчивость на участке выхода на склон пестроцветных глин. Проверку местной устойчивости производим по круглоцилиндрическим поверхностям VIII—XI, проходящим по кровле и подошве пестроцветных глин, с учетом kst = 1,2 и образования трещин в песчаниках (рис.14.17).
Все расчеты показали соблюдение условия устойчивости по схеме 3 табл. 14.3 с kst = 1,2.