§ 18. ТЕОРИИ ГОРНОГО ДАВЛЕНИЯ (ч. 1)
Проблема аналитического определения горного давления, действующего на конструкции подземных сооружений, исключительно сложна вследствие многообразия природных и производственных факторов, влияющих на его величину и характер распределения. Существует много различных теорий горного давления, основанных на весьма разнообразных предпосылках и поэтому дающих удовлетворительные результаты в весьма узких пределах, соответствующих законности этих предпосылок.
Наибольшее значение для практики имеют теории, базирующиеся на предположении об образовании над выработкой свода естественного равновесия в соответствии с описанным выше процессом изменения напряженного состояния вокруг выработки.
Вертикальное горное давление создается весом вывала породы, отделившегося от этого свода.
В практике проектирования в Советском Союзе распространена теория проф. М.М. Протодьяконова, предложенная им для широкого диапазона пород — от слабых до крепких скальных. В качестве объединяющей их характеристики в этой теории принят коэффициент f крепости, являющийся кажущимся коэффициентом трения, т.е. тангенсом угла 
внутреннего трения, определенного с учетом сцепления с между частицами породы. Кажущийся коэффициент трения равен отношению касательного τ и нормального σ напряжений на контакте между частицами породы в момент предельного равновесия, т.е.
,
где φ — действительный угол внутреннего трения породы.
Из рассмотрения общего выражения для f (для связных пород) можно сделать вывод, что в сыпучих породах (с = 0) он равен tgφ.
В скальных породах истинное сцепление с определяется силами молекулярного сцепления. В этом случае проф. М.М. Протодьяконов рекомендует определять коэффициент крепости породы в зависимости от ее кубиковой прочности R (кгс/см2) на раздробление:
.
На основании наблюдений за поведением крепей и обобщения обширного опыта проведения горных выработок проф. М.М. Протодьяконовым предложена классификация пород по крепости (см. СНиП III-Д.8-62). В сокращенном виде эта классификация приведена в табл. 4. В соответствии с ней породы делятся на десять категорий (от I до X), для которых коэффициент крепости изменяется от 20 до 0,1.
Таблица 4
Характеристика пород (по М. М. Протодьяконову)
| Категории пород | Породы | Коэффициент f крепости породы | Объемный вес γ, тс/м3 |
| I | Наиболее крепкие, плотные и вязкие кварциты и базальты, исключительно крепкие другие породы | 20 | 2,8—3,0 |
| II | Очень крепкие граниты, кварцевый порфир, кремнистый сланец, менее крепкие, чем указано выше, кварциты, самые крепкие песчаники и известняки | 15 | 2,6—2,7 |
| III | Плотные граниты, очень крепкие песчаники и известняки крепкий конгломерат | 10 | 2,5—2,6 |
| IIIa | Крепкие известняки, песчаники и мрамор, некрепкий гранит доломиты | 8 | 2,5 |
| IV | Обыкновенный песчаник | 6 | 2,4 |
| IVa | Песчанистые сланцы, сланцеватые песчаники | 5 | 2,5 |
| V | Крепкий глинистый сланец, некрепкие песчаник и известняк, мягкий конгломерат | 4 | 2,8 |
| Va | Разнообразные некрепкие сланцы, плотный мергель | 3 | 2,5 |
| VI | Мягкие сланец, известняк, мел, гипс, разрушенный песчаник, обыкновенный мергель | 2 | 2,4 |
| VIa | Разрушенный сланец, отвердевшая глина | 1,5 | 1,8—2,0 |
| VII | Плотная глина, глинистый грунт | 1 | 1,8 |
| VIIa | Легкая песчанистая глина, лесс | 0,8 | 1,6 |
| VIII | Легкий суглинок, сырой песок | 0,6 | 1,5 |
| IX | Песок, мелкий гравий | 0,5 | 1,7 |
| X | Плывуны, разжиженный лёсс и другие грунты (f = 0,1÷0,3) | 0,3 | 1,5—18 |
Принятие в качестве универсальной характеристики коэффициента f крепости породы эквивалентно отождествлению всех пород с сыпучими телами, имеющими условный угол внутреннего трения
= arctg f.
(8)В сыпучих телах в стенах выработки образуются плоскости сползания, наклоненные под углом (45° — 
) к вертикали (рис. 35). Вследствие этого расширяется зона нарушения окружающих выработку горных пород. На уровне верха обделки пролет этой зоны
,(9)где b — пролет выработки с учетом перебора, принимаемого в зависимости от метода разработки породы в пределах от 5 до 15 см с каждой стороны выработки (большие значения перебора соответствуют применению взрывного способа работ);
h — высота выработки.
Над выработкой и призмами сползания образуется вывал, верхняя граница которого носит название свода давления.
Выше свода давления находится несущий свод, прочность которого должна быть достаточной для того, чтобы выдержать давление вышележащих более слабых пород.
Свод давления (см. рис. 35), рассматриваемый как тонкая арка, составленная из частиц сыпучего тела, может находиться в равновесии под действием вертикальной нагрузки р, принимаемой равномерно распределенной, при совпадении кривой давления с осью свода. Очевидно, что при принятой нагрузке свод давления должен быть очерчен по квадратной параболе.
Условием работы свода на центральное сжатие являются уравнения:
ΣMA = 0;
.
Распор свода
.
Условием устойчивости пят свода от сдвига служит неравенство
.
Если ввести величину запаса устойчивости пят свода Δ = τh1 пропорциональную высоте свода давления, получим:
;
.
Высота свода давления, образующегося над выработкой, определяется из условия максимума запаса устойчивости пят свода, чему соответствует равенство
.
Или
.
Отсюда высота свода давления
.(10)Исследуя вторую произвольную 
при 
, нетрудно убедиться, что 
, т.е. полученная высота свода давления действительно соответствует максимуму Δ.
Интенсивность q вертикального горного давления по теории М.М. Протодьяконова определяется как произведение ординаты квадратной параболы на объемный вес пород, т.е.
q = γ(h1 – y).
Как видно из приведенного вывода, формула (10) дает значение высоты свода давления, образующегося над незакрепленной выработкой и, следовательно, максимальную интенсивность горного давления, соответствующую гипотезе сводообразования. К недостаткам формулы проф. М.М. Протодьяконова относятся: прямолинейная зависимость высоты свода от пролета выработки, тогда как в действительности в малых выработках давление падает быстрее уменьшения пролета; невозможность применения формулы в неоднородных напластованиях; трудность количественной оценки коэффициента крепости породы, который должен приниматься с учетом степени трещиноватости и обводненности породы.