7.3.3. Расчет оснований подпорных стен по деформациям

Такой расчет производится только для нескальных грунтов по указаниям СНиП 2.02.01-83. Предельные деформации s_u принимают по технологическим требованиям, но не более величин, указанных в гл. 5.

При отсутствии специальных технологических условий требования по деформациям считаются удовлетворенными, если среднее давление на грунт под подошвой стены р не превышает расчетного сопротивления основания R, а краевое давление рmах не превышает 1,2R.

Пример 7.1. Требуется проверить правильность принятых размеров уголковой подпорной стены из расчета по первой и второй группе предельных состояний основания. Схема стены с основными размерами представлена на рис. 7.11. На поверхности призмы обрушения действует равномерно распределенная нагрузка q = 30 кПа.

Грунт основания — песок пылеватый. Расчетные значения характеристик песка: γ_II = 18 кН/м³; φ_II = 30°; c_II = 0; γ_I = 18 кН/м³; φ_I = 29°; c_I = 0.

Засыпка выполняется из того же песка. Расчетные значения характеристик засыпки: γ´_II = 17 кН/м³; φ´_II = 27°; c´_II = 0; γ´_I = 17 кН/м³; φ´_I = 26°; с´_I = 0.

Решение. Сначала определяем давление на стену от грунта и от нагрузки на поверхности (рис. 7.11, а). Угол наклона плоскости обрушения к горизонту

Θ = 45° – φ´_I /2 = 45° – 26°/2 = 32°.

Вес грунта над передней консолью с коэффициентом надежности по нагрузке γ_f = 0,9 и γ´_I = 17 кН/м³:

F_v1 · 0,9 = 11,6 · 0,9 = 10,8 кН.

Вес грунта в объеме призмы abc с коэффициентом надежности γ_f = 0,9 и γ´_I = 17 кН/м³.

F_v4 · 0,9 = 138 · 0,9 = 124 кН.

Общий вес грунта G_g = 10,8 + 124 = 134,8 кН.

Собственный вес стены с коэффициентом надежности по нагрузке γ_f = 0,9 и γ_w = 25 кН/м³

G_w = (F_v2 + F_v3) 0,9 = (54 + 42) 0,9 = 86,4 кН.

Определяем коэффициент активного давления грунта λ_a по формуле (7.3) при δ = φ´_I = 26°, а = Θ = 32°, ρ = 0:

По формулам (7.1) и (7.2) находим горизонтальную σ_ah и вертикальную σ_av составляющие активного давления грунта на глубине z = H = 6 м с коэффициентом надежности по нагрузке γ_f = 1,1:

σ_ah = 17 · 1,1 · 6 · 0,39 = 43,8 кПа;

σ_av = 43,8 tg (32° + 26°) = 70,1 кПа.

Определяем равнодействующие горизонтального и вертикального давления грунта по формулам (7.5) и (7.6):

E_ah = 43,8 · 6/2 = 131,4 кН;

E_av = 70,1 · 6/2 = 210,3 кН.

Горизонтальную σ_qh вертикальную σ_qv составляющие активного давления грунта от равномерно распределенной нагрузки на поверхности определяем по формулам (7.14) и (7.15) с коэффициентом надежности по нагрузке γ_f = 1,2:

σ_qh = 30 · 1,2 · 0,39 = 14 кПа;

σ_qv = 14 tg (32° + 26°) = 22,4 кПа.

Вычисляем равнодействующие горизонтального E_qh и вертикального E_qv давлений грунта от нагрузки q на поверхности:

E_qh = σ_qhH = 14 · 6 = 84 кН;

E_qv = σ_qvH = 22,4 · 6 = 134,4 кН.

Расчет устойчивости стены против сдвига производим для трех значений угла β (β₁ = 0; β₂ = φ_I /2; β₃ = φ_I).

1. Для β₁ = 0.

Сумма сдвигающих сил по формуле (7.20)

ΣF_sa = 131,4 + 84 = 215,4 кН.

Горизонтальную составляющую пассивного давления грунта на глубине z = 1,5 м определяем по формуле (7.16) с учетом выражения (7.19) при коэффициенте надежности по нагрузке γ_f = 0,9:

σ_ph = 17 · 0,9 · 1,5 tg²(45° + 26°/2) = 58,5 кПа.

Равнодействующая пассивного давления

E_ph = 1,5 · 58,5/2 = 44 кН.

Сумму проекций всех сил на вертикаль находим по формуле (7.22):

F_v = 86,4 + 10,8 + 124 + 210,3 + 134,4 = 565,9 кН.

Определяем сумму удерживающих сил по формуле (7.21):

ΣF_sr = 565,9 tg (29° – 0) + 44 = 365 кН.

Проверяем условие (5.92) при γ_c = 0,9 и γ_n = 1,1 (сооружение III класса):

ΣF_sa < γ_cΣF_sr /γ_n; 215,4 < 0,9 · 356/1,1 = 290,

т.е. условие (5.92) выполняется.

2. Для β₂ = φ_I /2 = 14°30´; ΣF_sa = 215,4 кН.

Определяем пассивное давление на глубине z = 2,51 м при γ_f = 0,9:

σ_ph = 18 · 0,9 · 2,51 tg²(45° + 29°/2) = 117 кПа.

Равнодействующая пассивного давления

F_ph = 2,51 · 117/2 = 147 кН.

Сумму проекций всех расчетных сил на вертикаль находим с учетом веса грунта в объеме призмы def при γ_f = 0,9:

ΣF_sr = 597,1 tg (29° – 14°30´) + 147 = 301 кН.

Проверяем условие (5.92):

215,4 < 0,9 · 301/1,1 = 246,

т.е. условие (5,92) выполняется.

3. Для β₃ = φ_I; ΣF_sa = 215,4 кН.

Пассивное давление на глубине z = 3,64 м

σ_ph = 18 · 0,9 · 3,64 tg²(45° + 29°/2) = 170 кПа.

Равнодействующая пассивного давления E_ph = 170 · 3,64/2 = 310 кН; ΣF_sr = E_ph

Проверяем выполнение условия (5.92):

215,4 < 0,9 · 310/1,1 = 254, т.е. условие (5.92) выполняется.

Расчет основания с использованием формулы (5.79). Сумма проекций всех расчетных сил на вертикаль F_v = 565,9 кН. Сумма проекций всех расчетных сил на горизонталь (без учета пассивного давления грунта на лицевую грань) F_h = ΣF_sa = 215,4 кН.

Вычисляем сумму моментов всех расчетных вертикальных сил относительно оси, проходящей через центр тяжести подошвы:

ΣF_vil_i = F_v1 · 1,7 + F_v2 · 1,13 + F_v3 · 0,1 + F_v4 · 0 – E_av · 0,98 – E_qv · 0,5 =

= 10,8 · 1,7 + 48,6 · 1,13 + 37,8 · 0,1 + 12,4 · 0 – 210,3 · 0,98 – 134,4 · 0,5 = – 196,1 кН·м.

Вычисляем сумму моментов всех расчетных горизонтальных сил относительно той же оси:

ΣF_hiz_i = E_ah · 2 + E_qh · 3 = 131,4 · 2 + 84,3 = 514,8 кН·м.

Величина эксцентриситета приложения равнодействующей всех сил относительно центра тяжести подошвы будет:

e_b = (ΣF_vil_i + ΣF_hiz_i)/F_v = ( – 196,1 + 514,8)/565,9 = 0,56 м.

Приведенная ширина подошвы по формуле (5.80)

b´ = b – 2e_b = 3,9 – 2 · 0,56 = 2,78 м.

Вычисляем угол δ наклона равнодействующей по формуле (5.82):

tgδ = F_h /F_v = 215,4/565,9 = 0,38; δ = 21°,

т.е. условие (5.83) выполняется и формула (5.79) может быть использована для вычисления нормальной составляющей предельной нагрузки на основание стены.

По табл. 5.28 находим значения коэффициентов N_γ и N_q (при φ_I = 29° и δ = 21°); N_γ = 2,08; N_q = 6,88. Коэффициенты формы ξ_γ = ξ_q = 1 (для ленты). Вычисляем:

N_u = b´(N_γξ_γb´_γI + N_qξ_qγ´_Id + N_cξ_cc_I) = 2,78 (2,08 · 1 · 2,78 · 18 + 6,88 · 1 · 17 · 1,5) = 780 кН/м.

Проверяем условие (5.78): F_v = 565,9 < 0,9 · 780/1,1 = 640 кН — условие удовлетворяется, т.е. устойчивость основания обеспечена.

Расчет основания по второй группе предельных состояний. Для определения расчетного сопротивления основания предварительно находим коэффициенты: γ_c1 = 1,25; γ_c2 = 1,0; k = 1,0.

При φ_II = 30° М_γ = 1,15, М_q = 5,59, M_c = 7,95. Тогда

R = [M_γbγ_II + M_qd₁γ´_II + (M_q – 1)dbγ´_II + M_cc_II] =

= (1,15 · 3,9 · 18 + 5,59 · 1,5 · 17) = 270 кПа.

При вычислении R за величину d₁ принято заглубление подошвы стенки со стороны лицевой грани; величина d_b принимается равной нулю.

Вычисляем напряжения под подошвой стены, для чего предварительно определяем составляющие давления грунта на стену при характеристиках грунта для расчета по второй группе предельных состояний:

δ = φ´_II = 27°; α = Θ = 45° – φ´_II /2 = 45° – 27/2 = 31°30´.

Коэффициент активного давления грунта, вычисленный по формуле (7.4), λ_a = 0,38.

Горизонтальные и вертикальные составляющие активного давления от веса грунта и от распределенной нагрузки на поверхности определяем аналогично предыдущему:

σ_ah = γ´_IIHλ_a = 17 · 6 · 0,38 = 38,8 кПа;

σ_av = σ_ah tg (α + δ) = 38,8 tg (31°30´ + 27°) = 64 кПа;

σ_qh = qλ_a = 30 · 0,38 = 11,4 кПа;

σ_qv = σ_qh tg (α + δ) = 11,4 tg (31°30´ + 27°) = 18,8 кПа;

Равнодействующие горизонтального и вертикального давления грунта составят:

E_ah = σ_ahH/2 = 38,8 · 6/2 = 116,2 кН;

E_av = σ_avH/2 = 64 · 6/2 = 192 кН;

E_qh = σ_qhH = 11,4 · 6 = 68,4 кН;

E_qv = σ_qvH = 18,8 · 6/2 = 112,8 кН.

Сумма проекций всех сил на вертикаль

F_v = ΣF_vi = G_w + G_g + E_av + E_qv = 96 + 149,6 + 192 + 112,8 = 550,4 кН.

Сумма моментов всех вертикальных сил относительно оси, проходящей через центр тяжести подошвы,

ΣF_vil_i = F_v1 · 1,7 + F_v2 · 1,13 + F_v3 · 0,1 – F_v4 · 0 – E_av · 0,98 – E_qv · 0,5 =

= 11,6 · 1,7 + 54 · 1,13 + 42 · 0,1 – 192 · 0,98 – 112,8 · 0,5 = –159,9кН·м.

Сумма моментов всех горизонтальных сил относительно той же оси

ΣF_hiz_i = E_ah · 2 + E_qh · 3 = 116,2 · 2 + 68,4 · 3 = 437,6 кН·м.

Вычисляем давления под подошвой стены:

σ = F_v /A ± M/W = 550,4/(1 · 3,9) ± ( – 159,9 + 437,6)6/(1 · 3,9²);

σ_max = 252 кПа < 1,2 R = 1,2 · 270 = 325 кПа;

σ_min = 31 кПа > 0.

Из расчета по деформациям принятая ширина подошвы стены подходит.